多变量线性回归：梯度下降与特征缩放

"多变量线性回归的梯度下降算法及特征缩放、学习率α的选取" 多变量线性回归是统计学和机器学习中的一种基础模型，它扩展了单变量线性回归，用于处理包含多个自变量的情况。在多变量线性回归中，我们寻找一个最佳拟合直线或超平面，以描述自变量与因变量之间的关系。目标是通过最小化损失函数来优化模型参数。 损失函数通常是均方误差（MSE），它衡量模型预测值与实际值之间的差异。对于双变量或多变量线性回归，损失函数表达式如下： 损失函数 = (1/n) * Σ((y_i - ŷ_i)^2) 其中，n是样本数量，y_i是真实值，ŷ_i是模型预测值。 梯度下降算法是求解损失函数最小化问题的一种常用方法。它通过迭代更新模型参数来逐步减小损失函数。特征缩放是优化梯度下降性能的关键步骤。如果特征的尺度不同，梯度下降可能会更快地在某些方向上移动，导致收敛速度变慢。通过特征缩放，如均值归一化，可以将所有特征调整到相似的范围内，如[-1, 1]，这样可以加速算法的收敛。 学习率α是梯度下降中的一个重要参数，它决定了每次迭代时参数更新的步长。选择合适的α至关重要。如果α过大，可能会导致算法跳过局部最小值，而α过小则会导致缓慢收敛。通过观察损失函数随迭代次数的变化，我们可以判断算法是否正常工作。通常，损失函数应当随着迭代次数增加而持续减小，直至达到一个稳定的最小值。 如果损失函数在多次迭代后下降幅度很小，或者收敛速度非常慢，可能需要调整学习率。一种常见的做法是尝试不同的α值，如0.003, 0.03, ... , 1，并绘制迭代次数与损失函数的关系图，以找到最优的学习率。此外，还可以使用动态调整学习率的方法，如学习率衰减，以适应算法在不同阶段的需求。 多变量线性回归通过梯度下降算法寻找最佳模型参数，特征缩放和合适的学习率选择是提高模型训练效率和收敛性的关键。理解并掌握这些概念，能够帮助我们在实际问题中有效地应用多变量线性回归模型。