导弹覆盖优化：线性动态规划解决关键子工程问题

本资源主要聚焦于线性动态规划在导弹最小覆盖问题中的应用，以及解决多阶段最优化决策问题的策略。问题的核心是求解一个带权有向的多段图问题，具体到导弹防御系统的实例中，即找到从发射点A到目标D的最短路径，确保导弹覆盖所有目标区域的同时，最小化总体发射次数。 首先，第二问中的贪心方法尝试通过多次求取最长不上升序列来确定系统配置，但这种方法存在缺陷，因为最长不上升序列可能不是最优解。比如，给定序列 "7 5 4 1 6 3 2"，贪心法会拆分成三套系统，而实际只需两套。正确的方法则是利用线型动态规划的思想，逐步计算每个阶段（节点）的最短路径，根据状态转移方程fk+1(i)=min{fk(j)+u(i,j)}来更新最优路径。 在这个过程中，决策序列形成了一条最优的活动路线，每个阶段的状态只受前一阶段影响，体现了动态规划的两个基本原则：最优性原理和无后效性原则。最优性原理保证了每一步选择都是局部最优，无后效性原则表明过去的状态对后续决策没有影响，只需要考虑当前状态。 对于关键子工程问题，如N个子工程的组合完成，需要考虑依赖关系和并发施工限制。动态规划方程F[I]=MAX{F[J]}+A[I，J]用于计算完成每个子工程所需的最早时间，而关键工程可以通过F[I]=F[J]-A[I，J]的条件来确定，即两个子工程完成的时间差等于它们之间的依赖关系。 最后，有向图的关键路径分析是解决问题的关键步骤。如果图可以拓扑排序，说明存在解决方案，否则无法通过这种方法找到最短路径。通过拓扑排序得到的F序列和关键路径，可以有效地找出整个工程的最短完成时间和关键子工程。 这个资源深入探讨了如何运用线性动态规划解决导弹的最小覆盖问题，展示了其在复杂决策问题中的高效应用，包括如何定义状态、制定状态转移规则以及利用关键路径来优化决策过程。通过这个专项练习，学习者能够掌握动态规划解决此类实际问题的方法和技巧。