详解拦截导弹问题(动态规划)

拦截导弹问题，是一个经典的动态规划问题。问题描述如下：

有一套导弹拦截系统，可以拦截任何高度的导弹。但是，每次拦截导弹时，只能拦截高度不超过前一次拦截导弹高度的一半的导弹，否则导弹会突破拦截系统。现在，有一批导弹依次飞来，你需要设计一种拦截策略，最大化能够拦截的导弹数量。

这个问题可以用动态规划来解决。我们定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示拦截前 i 个导弹所能够拦截的最大数量。我们可以用以下方法来更新 dp：

- dp[0] = 1，表示没有导弹时可以拦截一个高度为无穷大的虚拟导弹。
- 对于 i > 0，我们枚举前 i-1 个导弹的高度 j，如果当前导弹高度小于等于前一个导弹高度的一半，那么我们可以在前 i-1 个导弹的基础上拦截当前导弹，即 dp[i] = dp[j] + 1。
- 如果当前导弹高度大于前一个导弹高度的一半，那么我们只能选择不拦截当前导弹，即 dp[i] = dp[i-1]。

最终，我们可以得到 dp[n]，其中 n 表示导弹的总数，dp[n] 表示能够拦截的最大导弹数量。

下面是一个 Python 实现的示例代码：

def missile_interception(heights):
    n = len(heights)
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[0] = 1
    for i in range(1, n+1):
        dp[i] = 1
        for j in range(i-1, -1, -1):
            if heights[j] >= heights[i-1] // 2:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return dp[n]

这个算法的时间复杂度是 O(n^2)，空间复杂度也是 O(n)。在实际应用中，可以通过使用更高效的数据结构和算法来优化时间和空间复杂度。