动态规划 01背包问题

动态规划的01背包问题是一种经典的组合优化问题。在这个问题中，给定一组物品，每个物品具有自己的重量和价值，并且有一个背包的容量上限。目标是选择一些物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大，同时不能超过背包的容量上限。这个问题的名称来源于每个物品只能选择装入背包一次(01)的约束条件。

解决动态规划的01背包问题通常使用一个二维数组dp来表示状态。其中dp[i][j]表示在前i个物品中，在背包容量为j的情况下，背包中物品的最大总价值。通过分析，我们可以得到状态转移方程：

1. 若第i个物品不放入背包，则dp[i][j] = dp[i-1][j]；
2. 若第i个物品放入背包，则dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]] + v[i]，其中w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。

最终求解的目标是dp[N][W]，即在N件物品中，背包容量为W的情况下，背包中物品的最大总价值。通过填充dp数组，可以逐步求解得到最优解。

需要注意的是，这个问题的解法是基于动态规划的思想，它的时间复杂度为O(NW)，其中N表示物品的个数，W表示背包的容量。这种解法在物品个数较小、背包容量较大时效果较好。<span class="em">1</span><span class="em">2</span><span class="em">3</span>
#### 引用[.reference_title]
- *1* *3* [动态规划背包问题之01背包详解](https://blog.csdn.net/weixin_53051813/article/details/125815935)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_1"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"]
- *2* [动态规划：01背包问题](https://blog.csdn.net/CY2333333/article/details/117621356)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_1"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"]
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