AdS-CFT对偶中的批量重建与Gel'fand-Graev-Radon变换
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更新于2024-09-04
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本文主要探讨了在欧氏反德西特空间（Euclidean anti-de Sitter space, AdS）背景下，bulk-reconstruction公式与Gel'fand-Graev-Radon变换之间的密切关系。Gel'fand-Graev-Radon变换是一种在数学分析中重要的工具，它将函数从一个空间的直角坐标表示转换到另一个相关的函数空间，通常用于解析几何和微分方程的研究。
在这个特定的应用中，作者们指出，AdS的bulk（内部空间）中的本体重建公式，即如何从边界数据推断出内部物理过程，实际上与Gel'fand-Graev-Radon变换的逆过程直接相关。这种联系揭示了一个深刻的物理现象，即在阿贝尔-杨-贝肯斯坦（AdS/CFT）对应框架下，边界上的共形标量场理论（Conformal Scalar Field Theory）的关联函数，可以被转化为不同循环阶数下的自相互作用标量场理论（Self-Interacting Scalar Field Theory）在bulk中的关联函数。
通过这个转化，理论学家们能够研究边界理论的性质，如局域性和对称性，进而推测bulk的物理行为，特别是在量子场论的背景下，这有助于我们理解黑洞物理、量子引力等复杂问题。论文引用了《Journal of High Energy Physics》（JHEP）2017年10月刊的一篇文章，作者包括Samrat Bhowmick、Koushik Raya和Siddhartha Sen，他们分别来自印度科学协会文化和科学研究所和都柏林三一学院。文章还提到了该研究的资金支持来自SCOAP3，并强调了开放获取的特性，这意味着读者可以直接访问和利用这些研究成果。
总结来说，这篇论文深入探讨了数学工具（Gel'fand-Graev-Radon变换）与物理理论（AdS/CFT对应）的结合，为我们提供了一种计算和理解高能物理中深层次现象的新途径。通过这种方式，科学家们能够跨越边界，探索bulk维度中的复杂物理现象，并利用这些关联函数来研究量子场论中的关键问题。
JHEP10(2017)082
C
+
n
AdS
n
X
1
X
2
X
0
Figure 1. Null cone and AdS
n
C
+
n
S
n−1
X
1
X
2
X
0
Figure 2. Null cone and S
n−1
.
here. Let M denote the n-dimensional Lobachevskian space or the Euclidean anti-de Sitter
space. In this note n > 1. In the coordinates {X
a
|a = 0, ··· , n} of the (n + 1)-dimensional
affine space R
n+1
with metric η
ab
= diag(−1, 1, ··· , 1), M is defined as the hypersurface
η
ab
X
a
X
b
= −L
2
, (1)
where L is a real number. An equivalent description of M is as the set of straight lines
passing through the origin of R
n+1
within the region
η
ab
X
a
X
b
< 0. (2)
The isomorphism between these two stems from the fact that each of these lines intersects
the hypersurface (1) at a single point. This is depicted in figure 1 for n = 2. We shall also
consider the n-dimensional positive null cone C
+
n
defined as the set of null vectors ξ
a
in
R
n+1
, that is,
η
ab
ξ
a
ξ
b
= 0, ξ
0
> 0, (3)
also shown in figure 1. For a point X in M and a point ξ in C
+
n
, let us consider the family
of hypersurfaces S
n−1
(p), given by
Σ := η
ab
X
a
ξ
b
+ p = 0, (4)
where p is a real parameter and X
a
and ξ
a
satisfy (1) and (3), respectively. For a fixed
non-zero p this is called a horosphere [18]. The only solution for X when p vanishes is
X
a
= ξ
a
, points on the cone. Looked upon as a subspace of the cone, this is depicted in
figure 2. Every line on the cone passing through the apex intersects S
n−1
only once. The
hypersurface S
n−1
can alternatively viewed as a subspace of M. Using the isomorphism
of M with the lines through the origin, these two descriptions coincide as X
0
−→ ∞.
Hence the boundary of M falls on the cone C
+
n
. For a point ξ on the cone C
+
n
, the GGR
transform of a smooth function f with bounded support on M is given by the integral
h
p
(ξ) =
Z
M
f(X)δ
η
ab
X
a
ξ
b
+ p
d
n
X, (5)
– 2 –
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