玻色-爱因斯坦凝聚的朗道阻尼：HFB理论的精确分析与近似探讨

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本文主要探讨了玻色-爱因斯坦凝聚（BEC）均匀系统中集体激发的朗道阻尼现象，这是凝聚态物理学中的一个重要课题。文章采用哈特里-福克-博戈留波夫（Hartree-Fock-Bogoliubov, HFB）平均场理论作为研究工具，这是一种在量子统计物理中广泛使用的理论框架，用于处理强相互作用系统。作者首先摒弃了传统的准粒子共振跃迁和集体激发能量这两个近似条件，进行了严格的数学推导。这种严谨的方法使得研究结果更加精确，能够在更广泛的参数范围内，如温度、能量等，得到朗道阻尼与温度之间的函数关系。特别关注了两种极端情况：当温度趋近于绝对零度时，系统的性质会发生显著变化；而在相变临界温度附近，系统的阻尼行为也显示出独特的特性。通过误差函数的分析，作者深入探究了不同能量级的准粒子跃迁对阻尼的影响。误差函数在这里起到了关键的作用，它不仅帮助量化了这些效应，还揭示了阻尼行为与系统能量分布之间的关联。这有助于科学家们理解如何通过控制准粒子的能量来调控系统的阻尼性能。接下来，文章引入了上述两个近似来进行简化计算，这在实际应用中可以降低计算复杂度，但仍保留了主要的物理特性。作者进一步分析了这两种近似方法的适用范围，这对于理解和优化实验设计具有实际价值。总结来说，本文的工作对于深化我们对玻色-爱因斯坦凝聚系统中低能集体激发的理解，特别是在极端温度条件下的阻尼机制提供了新的理论见解。同时，它也展示了HFB平均场理论在处理这类复杂量子系统时的强大能力，为未来在冷原子物理学、量子信息处理等领域的发展提供了理论支持。

凝聚部分又可分解为静态部分 ϕ0=⟨ψ⟩0ϕ0=ψ0 和激发部分 δϕδϕ，即

ϕ(r,t)=ϕ0(r)+δϕ(r,t)ϕr,t=ϕ0r+δϕr,t。（4）

采用 HFB 平均场理论近似：

1）⟨ψ†ψ⟩=n˜(r,t)ψ†ψ=n˜r,t，⟨ψψ⟩=m˜(r,t)ψψ=m˜r,t，其中，n˜(r,t)n˜r,t 和

m˜(r,t)m˜r,t 分别为正常和反常热粒子密度；

2）⟨ψ†ψ˜ψ˜⟩=⟨ψ˜†ψ˜†ψ˜⟩=0ψ†ψ˜ψ˜=ψ˜†ψ˜†ψ˜=0；

3）

⟨ψ†ψ†ψ˜ψ˜⟩=4n˜ψ˜†ψ˜+m˜ψ˜†ψ˜†+m˜*ψ˜ψ˜ψ†ψ†ψ˜ψ˜=4n˜ψ˜†ψ˜+m˜ψ˜†ψ˜†+m˜*ψ˜ψ˜，

其中 m˜*m˜*表示 m˜m˜的共轭；

4）n˜(r,t)=n˜(0)(r)+δn˜(r,t)n˜r,t=n˜0r+δn˜r,t，

m˜(r,t)=m˜(0)(r)+δm˜(r,t)m˜r,t=m˜0r+δm˜r,t，其中 n˜(0)=⟨ψ˜†ψ˜†⟩0n˜0=ψ˜†ψ˜†0 和

m˜(0)=⟨ψ˜ψ˜⟩0m˜0=ψ˜ψ˜0 为静态部分，δn˜(r,t)δn˜r,t 和 δm˜(r,t)δm˜r,t 为激发部分；

5）m˜(0)=0m˜0=0，n˜(0)=0n˜0=0。

将式（3）代入式（2）所示的 Heisenberg 方程中，可得到凝聚部分的运动方程，即

iℏ∂∂tϕ(r,t)=[−ℏ2∇22m+Vext(r)−μ]ϕ(r,t)+g|ϕ(r,t)|2ϕ(r,t)+2gϕ(r,t)δn˜(r,t)+gϕ*(r,t

)δm˜(r,t)iℏ∂∂tϕr,t=-ℏ2∇22m+Vextr-μϕr,t+gϕr,t2ϕr,t+2gϕr,tδn˜r,t+gϕ*r,tδm˜r,t，（5）

式中：ϕ*(r,t)ϕ*r,t 为 ϕ(r,t)ϕr,t 的共轭。

然后，将式（4）代入式（5）中可得凝聚基态的 Gross-Pitaevskii（GP）方程

[H0(r)+gn0(r)]ϕ0(r)=0H0r+gn0rϕ0r=0（6）

和激发部分的运动方程

iℏ∂∂tδϕ(r,t)=[H0(r)+2gn0(r)]δϕ(r,t)+gn0(r)δϕ*(r,t)+2gϕ0(r)δn˜(r,t)+gϕ*0(r)δ

m˜(r,t)iℏ∂∂tδϕr,t=H0r+2gn0rδϕr,t+gn0(r)δϕ*r,t+2gϕ0(r)δn˜r,t+gϕ0*(r)δm˜r,t，（7）

式中：H0(r)=−ℏ2∇2/(2m)+Vext(r)−μH0r=-ℏ2∇2/(2m)+Vextr-μ 为单粒子哈密顿量；

n0(r)=ϕ20(r)n0r=ϕ02r 为凝聚体密度。

忽略式（7）中的 δn˜(r,t)δn˜r,t 和 δm˜(r,t)δm˜r,t，凝聚部分的集体激发

{δϕ(r,t)=δϕ1(r)exp(−iε0t/ℏ)δϕ*(r,t)=δϕ2(r)exp(−iε0t/ℏ)δϕr,t=δϕ1rexp(-iε0t/

ℏ)δϕ*r,t=δϕ2rexp(-iε0t/ℏ)（8）

的振幅 δϕ1δϕ1 和 δϕ2δϕ2 及其能量 ε0ε0 满足 Bogoliubov-de Gennes（BdG）方程，即

{Lδϕ1+gn0δϕ2=ε0δϕ1Lδϕ2+gn0δϕ1=−ε0δϕ2ℒδϕ1+gn0δϕ2=ε0δϕ1ℒδϕ2+gn0δϕ1=-

ε0δϕ2，（9）

式中：L=H0+2gn0ℒ=H0+2gn0。

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