自适应滤波器的LMS与RLS算法详解：最小化MSE代价函数

本篇文档主要讲解了自适应滤波器的基本原理和两种常见的自适应算法：LMS（Least Mean Squares，最小均方误差）和RLS（Recursive Least Squares，递归最小二乘法）。自适应算法的核心在于输出信号y(n)的计算和误差序列e(n)的处理。 在自适应滤波器中，输出信号y(n)的表达式为(5-1)，即y(n)是对输入信号x(n)进行加权处理的结果，其中权重由自适应算法调整。误差序列e(n)定义为期望信号d(n)与输出信号y(n)之差，即e(n) = d(n) - y(n)，(5-2)式描述了这一关系，这是自适应滤波器调整自身参数的关键依据。 自适应滤波器的目的是通过调整滤波器系数，使得误差序列e(n)的平方和（均方误差，MSE）最小化，从而达到最佳滤波效果。目标函数F(e(n))被定义为MSE，即ξ(n) = E(e²(n)) = E[d²(n) - 2d(n)y(n) + y²(n)]，(5-3)公式给出了该准则的具体数学形式。 文档中特别提到了LMS算法，它是基于梯度下降法的一种简单但有效的自适应算法，通过迭代更新滤波器系数来最小化目标函数。而RLS算法则更为复杂，它通过使用递归更新方式计算协方差矩阵和权值，能在一定程度上解决MSE准则下的最小化问题，但计算效率相对较高。 自适应滤波器的结构如图5-1所示，包含可调节权系数的横向滤波器、自适应调节机制以及误差处理环节。在每个时间步n，通过计算误差e(n)，利用自适应控制算法如最陡下降法来调整权值，以期优化滤波器性能。 总结来说，本文档深入剖析了自适应滤波器的工作原理，重点讲解了LMS和RLS算法，并强调了自适应算法的核心思想——通过误差反馈和目标函数优化来动态调整滤波器系数。这对于理解和应用自适应信号处理技术具有重要的指导价值。