图论与算法考研精选:选择题解析
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"数据结构与算法考研试题:第七章 图" 这部分内容主要涵盖了图论在数据结构与算法中的基础知识,包括图的定义、性质、遍历方法以及图的各种表示方式。以下是相关知识点的详细说明: 1. **图的定义**:图是由顶点和边组成的集合,其中边可以连接两个不同的顶点,形成顶点之间的关系。题目中的选项A正确地描述了图中路径的定义,即由顶点和相邻顶点序偶构成的边所形成的序列。 2. **图的边数与顶点数关系**: - 在无向图中,每个边连接两个顶点,因此所有顶点的度数之和是边数的两倍。一个n个顶点的连通无向图至少需要n-1条边来连接所有顶点(形成一棵树状结构)。 - 对于有向图,边的数目与顶点的度数关系有所不同,因为每个顶点有独立的出度和入度。一个n个结点的完全有向图含有n*(n-1)条边,因为每对不同的顶点之间都有两条有向边(一条从一个顶点指向另一个,反之亦然)。 3. **图的遍历**: - 图的遍历包括深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS)。DFS通常通过递归实现,而BFS使用队列进行。在有向无环图(DAG)中,DFS可以得到逆拓扑排序,即先访问的顶点是后继顶点的祖先。 - 题目中提到的9题,DFS遍历无环有向图并退栈返回时打印顶点,会得到逆拓扑排序的结果。 4. **图的表示**: - 邻接矩阵是最直观的表示方式,但适合稠密图,因为存储开销大。 - 逆邻接表和邻接表更适合稀疏图,特别是邻接表,它只存储实际存在的边,节省空间。 - 邻接多重表和十字链表也是图的表示方式,适用于有向图,尤其是处理多条边的情况。 5. **图的性质**: - 在无向图中,所有顶点的度数之和等于边数的两倍,因为在无向图中每条边连接两个顶点,所以每条边会被计算两次。 - 在有向图中,顶点的入度之和等于出度之和,体现出了边的平衡性。 6. **特定问题**: - 表达式(A+B)*(A+B)/A的有向无环图表示,至少需要5个顶点,分别代表操作符和操作数。 - 8题中的图表示,最少需要5个顶点,分别对应乘法、加法、括号和变量。 7. **图的矩阵表示**: - 无向图的邻接矩阵是对称的,因为每条边在矩阵中都对应两个相等的元素。 - 判断长度为m的路径,只需要检查邻接矩阵的Am,因为路径长度相当于边的累计。 8. **错误的表述**: - 图的深度遍历同样适用于有向图,15题中C选项的表述是不正确的。 最后,16题中给出了一种无向图的顶点和边集,对其进行深度优先遍历,可能得到多种顶点序列,例如题目中给出的B选项`a,c,f,e,b,d`就是一个正确的序列。 这些知识点都是图论和数据结构中基本且重要的概念,对于理解和解决图相关的算法问题至关重要。
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