Lagrange插值实验：理论与编程实践

本实验报告由孙骁同学完成，学号1180300811，属于哈尔滨工业大学计算机学院计算机专业。实验的主题是"利用Lagrange插值多项式进行函数近似"，其目的是通过编程实践掌握Lagrange插值方法，以解决实际问题中的函数估算需求。实验的核心是构建一个满足特定条件的Lagrange插值多项式，该多项式能够准确地在给定的互异点上近似函数值。 Lagrange插值是数值分析中的一个重要概念，当在某个区间上提供n个不同的函数值时，存在唯一的一个n次多项式，它在这些点上与函数值相等。若函数在插值区间上光滑，那么我们可以得到误差估计式，表明随着插值点数的增加，误差趋于零。然而，Lagrange插值并非无限制提高精度，过度的插值次数可能导致Runge现象，即在插值点之间多项式会出现剧烈的波动。 实验设计中，程序流程包括以下几个步骤： 1. 定义Lagrange插值公式，即构建一个多项式P(x)，确保它在给定的节点上与函数值相符。 2. 利用编程语言（未具体指明，可能是MATLAB中的Lagrange.m函数）实现插值算法，输入样本点的横坐标(X)和对应的函数值(Y)。 3. 实际运行插值程序，并记录实验结果，观察在不同时间点插值误差的变化。 实验中遇到的问题包括： - 插值误差与取样点的关系：过多或过少的取样点可能导致误差，如Runge现象，这提示了合理选择插值区间和基础函数的重要性。 - 插值区间大小对误差的影响：在插值区间较大时，由于函数值变化可能较慢，插值误差相对增大。 - 减小Runge现象的方法：通过调整取样点分布，尤其是在函数变化剧烈的区域增加取样点，有助于改善插值质量。 - 外推性质：Lagrange插值仅限于插值区间，超出这个范围的外推可能会导致函数发散，且外推误差随距离增加而增大。 通过本实验，学生不仅掌握了Lagrange插值的理论知识，还学会了如何在实际问题中应用，理解了插值方法的选择及其局限性。同时，编程实践锻炼了他们的技术技能和问题解决能力。