孙骁实验：Romberg积分法的误差估计与编程实现

本篇文章主要介绍了孙骁同学在实验中应用复化梯形求积公式（Romberg积分）来计算积分的方法以及实验过程。实验的核心内容围绕以下几个方面： 1. **计算方法**： 孙骁使用复化梯形求积公式，其基本思想是将积分区间分割成多个子区间，通过逐步减小每个子区间的宽度，提高积分的精确度。公式表达为：\( I_k = \frac{h}{2} [f(a) + f(b) + 4\sum_{i=1}^{k-1} f(a + ih) + f(a + kh)] \)，其中\( h = \frac{b-a}{2^k} \)，\( k = 1, 2, ..., n \)。通过迭代计算 \( T(m,k) \) 来逼近积分值。 2. **目的与意义**： 实验的主要目的是利用Romberg积分法计算积分，以提高数值积分的精度。通过编程实现这一方法，可以解决实际科学实验中遇到的函数求解问题，尤其是对于难以解析求解的函数。 3. **数学原理**： 错误估计是关键，利用复化梯形求积公式的误差公式可以控制积分的精度。随着子区间数量的增加（即 \( n \) 值增大），或者二分次数增多，误差会显著减小。误差估计表明，当 \( n \) 增大时，积分的相对误差会减小到原来的 \( \frac{1}{2^n} \)。 4. **程序设计流程**： 实现的程序结构包括初始化误差值（err）、设定初始阶数（m）和面板数量（n），然后通过循环计算 \( T(m,k) \)，并根据精度要求（tol）调整迭代次数。最后，程序输出不同函数在指定区间上的积分结果。 5. **实验结果与讨论**： 孙骁通过实验展示了Romberg积分法在四个不同函数上的应用，如二次函数、指数函数、正切函数和反比例函数。实验结果显示，随着参数 \( N \) 或二分次数的增加，积分的计算精度确实得到了提升。 6. **思考题**： 实验引导学生思考积分精度与参数的关系，认识到增加子区间数或增加二分次数是提高精度的有效手段。同时，也强调了在有限区间内，更细小的子区间划分可以带来更高的计算精度。 7. **程序代码**： 提供了一个名为 `Romberg.m` 的函数，该函数接受一个函数fun（字符串形式的函数表达式）、积分区间a和b、面板数量n以及所需的精度容忍度tol作为输入，返回积分的近似值。 这篇文章详细介绍了如何使用Romberg积分法进行数值积分，并通过实际操作演示了其在不同函数上的应用，突出了精度控制和算法效率的重要性。