Newton迭代法求非线性方程根的实验报告

"1180300811+孙骁-实验-021" 实验报告探讨了使用牛顿迭代法（Newton's Method）求解非线性方程的根的问题。牛顿迭代法是一种高效求解方程根的数值方法，尤其在根的初始猜测值较接近真实根的情况下，能够快速收敛。该方法的核心在于通过迭代公式逐步逼近方程的解。 在牛顿迭代法中，我们首先需要选择一个初始值\( x_0 \)，然后按照迭代公式： \[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \] 进行迭代，其中\( f(x) \)是目标非线性方程，\( f'(x) \)是其导数。当迭代序列\( \{x_n\} \)中的元素\( x_n \)与方程根的差距足够小，即\( |x_n - r| \)很小时，迭代会快速收敛到根\( r \)。然而，如果初始值选择不当，可能会导致迭代发散，即远离真实的根。 实验报告中提到了牛顿迭代法的局部收敛性。为了确保迭代过程收敛，需要满足一定的条件：对于足够小的\( \epsilon \)，函数\( f \)在根附近连续可微，且\( f(r) = 0 \)，\( f'(r) \neq 0 \)。根据这些条件，我们可以分析迭代的收敛速度： - 如果\( f''(r) \neq 0 \)，那么对于足够小的\( \delta \)，当\( |x_n - r| < \delta \)时，迭代序列\( x_{n+1} \)将以2阶收敛于\( r \)。 - 若\( f''(r) = 0 \)，但\( f'''(r) \neq 0 \)，则对于足够小的\( \delta \)，当\( |x_n - r| < \delta \)时，迭代序列以1阶收敛于\( r \)。 实验的目的在于通过编程实现牛顿迭代法，学会用这种方法求解非线性方程的根，并理解其在科学计算中的应用。实验给出了两个具体问题的实例： 问题1: （1）对于方程\( f(x) = \cos(x) - x \)，初始值取\( \frac{\pi}{4} \)，经过迭代，得到的根大约为0.739085。 （2）对于方程\( f(x) = e^{-x} - \sin(x) \)，初始值取0.6，经过迭代，得到的根大约为0.588533。 实验结果表明，牛顿迭代法在给定条件下成功地找到了这两个非线性方程的近似根。不过，实验同时也强调，必须注意选择合适的初始值和设置合理的迭代次数上限，以防止不收敛或发散的情况发生。在实际应用中，可能需要多次尝试不同的初始值，以确保找到正确的根。