优化算法基础：多元函数、梯度与正定矩阵

"该资源是关于最优化算法的第二章内容，主要涵盖了预备知识，包括多元函数的梯度、Hesse矩阵、泰勒公式、多元函数的极值、二维问题的图解法、凸集与凸函数的判定方法以及凸规划的性质。教材可能与陈开周老师的课程配套。" 在最优化算法中，预备知识是理解和应用各种优化算法的基础。首先，向量的范数是一个关键概念，它衡量了向量的长度或大小。在n维欧几里得空间中，向量通常以列向量形式表示，范数需满足非负性、齐次性和三角不等式三个条件。p-范数是其中的一个特例，特别是2-范数，也被称为欧几里得范数，它是向量各分量平方和的平方根，通常用“·”表示。此外，向量的内积定义了两个向量之间的关联度，而Cauchy不等式则揭示了向量内积与范数之间的关系，提供了一个关于向量乘积大小的界限。 接着，我们讨论多元函数的梯度，这是理解函数在多维空间中变化趋势的关键工具。梯度是一个向量，其方向指向函数增长最快的方向，其模长对应于函数在该方向的增长率。Hesse矩阵是二阶偏导数组成的方阵，它包含了函数曲面的局部曲率信息。泰勒公式则提供了函数在某一点附近近似的多项式表示，这对于理解和近似复杂函数极其重要。 多元函数的极值，包括极大值和极小值，是优化问题的核心。通过求解梯度为零的条件，我们可以找到可能的极值点。二维问题的图解法通过绘制函数的等高线图来直观地寻找这些点。 凸集和凸函数的概念在最优化中占有重要地位，因为凸问题是更容易处理和求解的。一个集合是凸的，如果任意两点的线性组合仍然在集合内。相应地，如果函数在其定义域上任意两点的线性组合的函数值总是大于等于这两个点的函数值的线性组合，那么这个函数就是凸函数。凸函数的判定方法可以帮助识别和利用这类函数的特性。而凸规划则是一类特殊的优化问题，其中目标函数和约束条件都是凸函数，它具有一些独特的性质，如全局最优解的存在性和可以通过梯度下降等简单方法找到。 这一章内容为后续的最优化算法学习打下了坚实的数学基础，涵盖了向量分析、多元微积分和凸优化的基础知识，这些都是解决实际工程优化问题所必需的。通过深入理解这些概念和方法，研究者能够更有效地设计和分析优化算法。