理解图论：拓扑排序与数据结构

"拓扑排序是针对有向无环图(DAG)的一种特殊排序方法，其目的是将图中的所有顶点排成一个线性序列，使得对于图中的每条有向边 <v, w>，顶点 v 都在这个序列之前出现。在拓扑排序中，如果两个顶点之间没有明确的顺序关系，可以人为设定它们的相对顺序。" 拓扑排序是图论中的一个重要概念，主要应用于依赖关系的处理，比如任务调度、程序编译等场景。在这些领域中，任务或事件之间可能存在前导和后续的关系，拓扑排序能够帮助确定执行的先后顺序。 7章图的讲解涵盖了多个关于图的理论和算法： 1. **抽象数据类型图的定义**：图是一个由顶点集V和弧集R组成的结构，其中弧表示顶点之间的关系，如有向图和无向图。 2. **图的存储表示**：通常有邻接矩阵和邻接表两种方式来存储图，前者用二维数组表示每个顶点的邻接关系，后者用链表或数组实现，节省空间。 3. **图的遍历**：包括深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS)，用于访问图中所有顶点。 4. **最小生成树**：如Prim算法或Kruskal算法，用于找到连接图中所有顶点的最小权值边集。 5. **拓扑排序**：有向无环图(DAG)的特定排序，如Kahn算法或Topological Sort，确保了边的方向关系。 6. **关键路径**：在项目管理中，寻找决定项目最早完成时间的关键活动路径。 7. **两点之间的最短路径问题**：Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法用于找出图中两个顶点之间的最短路径。 在实际应用中，无向图和有向图各有特点。无向图的边没有方向，而有向图的边有明确的方向，如例子G1和G2所示。图的度（Degree）是与一个顶点相连的边数，分为入度（In-degree）和出度（Out-degree），总度等于两者之和。 对于网络，如果边或弧带有权重，就成为有向网或无向网。完全图是有向或无向图中每对顶点间都有边的图。稀疏图和稠密图是根据边数相对于顶点数来分类的，边数少于nlogn的称为稀疏图，反之为稠密图。 在处理图问题时，了解这些基本概念和算法是至关重要的，它们可以帮助我们有效地分析和解决复杂的问题。