Z变换与DTFT：序列移位与系统分析基础

第二章主要探讨了Z变换与DTFT变换在数字信号处理中的重要性。Z变换是离散时间信号与系统分析的核心工具，它将离散时间序列映射到复平面上，通过其定义（对于序列x(n)，Z变换X(z)是其Z域表示，定义为X(z) = Z{x(n) * z^(-n)}），我们可以研究信号在频域的行为。Z变换的特点包括收敛域的概念，以及它与连续时间信号的Laplace变换和Fourier变换之间的关系。单位时延在Z变换中的表示为一个Z-1因子，这反映了时域中基本运算如数乘、加法和时移在频域中的对应变化。 Z变换的反变换提供了将Z域表达恢复到时域信号的方法，这对于系统分析和设计至关重要。Z变换的一些基本性质和定理，如线性性、时移定理、卷积定理等，帮助我们深入理解信号的特性。同时，Z变换与Fourier变换的关系表明，离散信号的频谱分析可以通过Z变换实现，而不需要进行连续的频谱分析。 连续时间信号的分析通常涉及傅里叶变换，它将信号分解为一系列正弦波的叠加，具有物理意义的幅度谱和相位谱。傅里叶变换可以直观地展示信号在不同频率成分上的分布，常用于滤波、信号识别等应用。拉普拉斯变换作为傅里叶变换的推广，尤其适用于处理微分方程，对控制系统的理论建模非常有用。 离散时间序列傅里叶变换，即DTFT，是针对离散时间信号的频域分析，它的表达式与连续时间中的形式相似，但基于离散时间的索引n。DTFT是Z变换的一种特殊情况，当信号的时延因子z-1取值为1时，Z变换简化为DTFT。 这一章涵盖了从连续到离散时间信号的转换分析方法，强调了时域和变换域分析的重要性，以及如何利用Z变换和DTFT来处理和理解信号在时间或频率域的变化规律，这对于深入理解数字信号处理技术及其在通信、信号处理、控制系统等多个领域的应用至关重要。