Pólya计数法详解与应用——解决染色图同构问题
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更新于2024-08-19
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"ACM-polya计数法用于解决染色图同构问题的高效算法"
在ACM(Association for Computing Machinery,美国计算机协会)竞赛中,Polya计数法是一种常用的解决计数问题的数学工具,特别是面对染色图同构问题时。这个问题的核心在于计算在给定条件下,有多少种本质不同的染色方式。染色图是指无向完全图,其中每条边都可以染成k种颜色之一。如果两个染色图可以通过改变顶点的编号而变得完全相同,那么它们被认为是同构的。
面对染色图同构问题,直接枚举所有可能的染色方案会导致计算量过大,进而导致超时。这时,就需要利用Polya计数法来优化算法。该方法的关键在于避免对每个置换都进行计算,而是找出置换群中相似的置换,减少冗余计算。
Polya计数法基于Burnside引理,它指出,一个集合C中的不等价元素的数量等于群G中每个置换a作用于C后保持不变的元素数量的平均值。具体表达式为:
\[ \frac{1}{|G|} \sum_{a \in G} |C^a| \]
其中,|G|表示置换群G的大小,|C^a|表示在置换a的作用下保持不变的元素的数量。
在染色图问题中,群G由图中所有可能的点置换组成,而C则是所有可能的染色方案。对于每个置换a,其循环数c表示在a的作用下形成的循环个数,而保持不变的染色方案数为k的c次方。因此,对于每个置换a,其贡献的不变染色方案数为:
\[ k^c \]
将所有置换a的贡献加起来,并除以群G的大小,就可以得到本质不同的染色图数量。
以N=3和k=2为例,此时有3条边,点的排列有3! = 6种,每种排列对应不同的边置换。通过计算每种排列下保持不变的染色方案数,然后按照Polya定理进行求和,就可以得出答案。
Polya计数法在解决ACM中的染色图同构问题时,提供了一种有效的方法,通过考虑置换群的结构和循环特性,减少了计算复杂性,使得在有限的时间内能够求解出问题的答案。这种方法需要扎实的数学基础,尤其是群论和组合数学的知识,但一旦掌握,它将成为解决这类问题的强大工具。
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2009-10-08 上传
论文
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郑云山
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