线性代数课后习题解答：正交矩阵与特征值问题

本资源主要涵盖了矩阵理论中的多个关键知识点，包括正交矩阵、特征值、特征向量、矩阵运算、正交变换、二次型、相似对角化以及二次曲面的标准方程。以下是对这些知识点的详细解释： 1. **正交矩阵**：一个矩阵如果满足其转置等于其逆，即 ，则称它为正交矩阵。正交矩阵的性质包括：列（行）向量组构成单位正交基，矩阵乘以其转置的结果是单位矩阵。 2. **施密特正交化**：这是一个将一组向量转化为正交向量组的过程，通过Gram-Schmidt过程，将向量组转化为互相正交的新向量组，然后将其单位化得到正交单位向量组。 3. **特征值与特征向量**：给定一个矩阵，如果存在非零向量使得 ，其中λ是特征值，v是对应特征值的特征向量。矩阵的特征值可以反映矩阵的某些本质属性。 4. **对称矩阵**：若矩阵A满足 ，则A是对称矩阵。对称矩阵的特征值全为实数，且对应的特征向量可以选取为正交的。 5. **相似对角化**：若一个矩阵可以找到一个可逆矩阵P，使得 ，则矩阵A可以被相似对角化，其中D是对角矩阵，对角线上的元素是A的特征值。 6. **二次型**：二次型是形式为 的线性形式，其中 是变量的系数矩阵， 是变量的共轭转置。通过正交变换，可以将二次型化为标准形或规范形。 7. **二次曲面**：二次型在三维空间中表示的曲面，通过正交变换可以将其化为标准方程，如椭球、双曲面等。 8. **正定矩阵**：实对称矩阵A是正定的，当且仅当对于所有非零向量x，都有 。正定矩阵的所有特征值都是正的，并且它能被正交矩阵相似对角化为对角线上全为正的对角矩阵。 9. **配方法**：将二次型通过配方法化为规范形，即将二次型写成关于一组新的变量的平方和的形式，这通常涉及进行一次正交变换。 10. **最大特征值与二次型的最大值**：二次型在特定变量下的最大值等于该二次型对应矩阵的最大特征值。 以上知识点是线性代数和矩阵论中的基础内容，对理解和应用这些理论至关重要，尤其是在数值分析、信号处理、优化问题、统计学等领域有着广泛应用。