ACM算法详解：数学、计算几何、数论与图论模板

"ACM常用算法介绍及模板" 在ACM竞赛或算法设计中，掌握一系列高效的算法模板是至关重要的。以下将详细阐述这些领域的关键算法及其应用。 一、数学问题 1. 精度计算：在处理大数运算时，需要考虑精度问题。大数阶乘、大数乘小数、大数乘大数、加法、减法以及除法约分都是基础的精度计算操作。例如，大数乘法可以通过Karatsuba算法或Toom-Cook算法提高效率。 2. 进制转换：任意进制转换是常见问题，如十进制与二进制之间的转换，通常通过按位运算完成。 3. 最大公约数和最小公倍数：可以使用辗转相除法（欧几里得算法）或更相减损法求解。 4. 组合序列：如组合C(n, k)或排列P(n, k)，可以利用动态规划或Stirling数进行计算。 5. Ronberg算法：用于近似计算定积分，基于黎曼和的逼近。 6. 行列式计算：高斯-若尔当消元法可用于计算线性代数中的行列式。 7. 排列组合数：可以使用动态规划或递推关系来计算。 二、计算几何 计算几何涉及平面和空间中的几何对象操作。常见的包括： 1. 多边形面积：叉乘法可用于计算任意多边形的面积。 2. 三角形面积：海伦公式或叉乘法可求解。 3. 多边形重心：通过计算顶点坐标平均值的负倒数得到。 4. 两矢量间角度：使用内积或余弦定理计算。 5. 两点距离：欧几里得距离公式适用2D和3D空间。 6. 点在多边形内的判断：射向法通过射线与边的交点数判断。 7. 点在线段上的判断：检查点的坐标是否满足线段端点的线性关系。 8. 两线段相交：通过比较端点坐标判断。 9. 线段与直线相交：线性方程组解决。 10. 点到线段最短距离：通过垂线段最短原理计算。 11. 两直线交点：解线性方程组得到交点坐标。 12. 凹凸集判断：检查每个角点的内角是否大于180度。 三、数论 1. 二进制长度：计算二进制表示的位数。 2. 二进制位提取：通过位运算快速获取特定位置的二进制位。 3. 幂运算：模幂运算可通过快速幂算法高效完成。 4. 模线性方程：扩展欧几里得算法可用于求解模线性方程。 5. 中国余数定理：解决多个模线性方程组。 6. 素数筛法：埃拉托斯特尼筛法用于生成素数列表。 7. 素数判断：Miller-Rabin或AKS算法用于测试数的素性。 8. 欧拉公式：φ(n)表示小于等于n且与n互质的正整数个数。 9. 数的分解：因式分解算法如Pollard's rho或Quadratic Sieve。 10. 阶乘：大数的阶乘计算，需要考虑精度问题。 11. 母函数：在数论中，母函数用来处理离散序列。 12. 特殊数：如完全平方数、完全立方数等的检测。 13. 组合公式：如二项式系数，可用Pascal's triangle计算。 四、图论 1. 深度优先搜索（DFS）：遍历图的一种方法，常用于找环、拓扑排序等。 2. 边分类：根据边的性质（如树边、back边、交叉边）划分图。 3. 连通性：判断图是否连通，可通过DFS或BFS实现。 4. 强连通分支：Kosaraju算法用于找出强连通分量。 5. 割顶和桥：判断图中哪些顶点或边是关键的，影响图的连通性。 6. 欧拉图：判断是否存在一条通过所有边且不重复的路径，Fleury算法用于构建欧拉路径。 7. 最小生成树：Prim和Kruskal算法用于找到边权重之和最小的生成树。 8. 单源最短路径：Dijkstra和Bellman-Ford算法寻找起点到其他所有点的最短路径，Floyd-Warshall算法则计算所有对节点间的最短路径。 五、最大流 1. Ford-Fulkerson算法：通过增广路径不断更新流，直至无法增加为止。 2. 最大二分匹配：匈牙利算法和Kuhn-Munkres算法用于找到二分图的最大匹配。 3. 最小路径覆盖：将图转化为二分图，然后用最大流问题求解。 以上算法是ACM竞赛中常用的工具，理解和熟练掌握它们对于解决复杂问题至关重要。在实践中，结合数据结构和优化技巧，可以进一步提升算法的效率和实用性。