Gasiński-Papageorgiou合著：非线性分析系列第九卷探讨数学分析与应用新进展

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"《非线性分析》是数学分析与应用系列（Series in Mathematical Analysis and Applications）的第九卷，由莱泽克·加斯斯基(Leszek Gasiński)和尼可拉斯·S·帕帕戈皮奥斯(Nikolaos S. Papageorgiou)共同编撰，该系列由拉维·P·阿加瓦尔(Ravi P. Agarwal)和唐纳尔·奥雷根(Donal O’Regan)担任总编辑。这个系列旨在报道数学分析中的新进展，特别是那些对解决科学、工程和社会问题具有重要意义或潜在应用的研究。《非线性分析》这一卷关注的是非线性系统的复杂性质和研究方法，非线性系统往往在现实世界中有广泛的应用，如物理学、经济学、生物学和工程学等领域的问题，其解通常涉及到动态系统、积分方程、微分方程和集值映射等非线性理论。例如，卷1介绍了动力系统中变分参数法的应用，这是求解非线性动力学问题的一种关键工具；卷2则深入探讨了积分和积分微分方程的理论以及它们在实际问题中的解决方案；卷3集中于勒雷-舒尔达定理及其在分析中的应用，这些定理对于理解非线性问题的稳定性至关重要；卷4则由多作者编辑，涵盖了集值映射的研究，这在优化、控制论和经济决策等领域扮演着核心角色。每一卷都旨在提供一个深入且全面的视角，以便研究人员和学者能够紧跟非线性分析领域的前沿进展，并将其应用于解决实际问题。通过阅读《非线性分析》这样的系列书籍，读者不仅可以提升对非线性系统的理解和解决能力，也能拓宽自己的研究视野，推动科学技术的进步。"

6 Nonlinear Analysis

(see Remark 1.1.8(a)). Let us take

= D ∪ (X \ A).

Evidently E ∈ B(X) and

C ⊆ (A ∩ C) ∪ (X \ A) ⊆ E.

Moreover, since E ∩ A = D ∩A, we have

(E) = µ(E ∩ A) = µ(D ∩ A) 6 µ(D) = µ(A ∩ C) = µ

(C),

so µ

= µbA is Borel regular (see Remark 1.1.8(a)), hence Radon.

We conclude this section, by recalling the following basic measure theoretic

approximations.

PROPOSITION 1.1.10

X is a Hausdorﬀ topological space and µ is an outer measure on X which

is Borel,

then

(a) if A ∈ B(X), µ(A) < +∞ and ε > 0, then we can ﬁnd an open set

⊇ A and a closed set C

⊆ A, such that

µ(U

\ C

) < ε,

i.e.,

µ(A) = inf

U-open

A ⊆ U

µ(U) = sup

C-closed

C ⊆ A

µ(C).

(b) if µ is Radon, then for every A ∈ 2

, we have

µ(A) = inf

U-open

A ⊆ U

µ(U)

and if A ∈ Σ

, then

µ(A) = sup

K-compact

K ⊆ A

µ(K).

REMARK 1.1.11 Note that in the ﬁrst part of Proposition 1.1.10(b),

the set A need not be µ-measurable.

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