《数理逻辑》课程习题详解

"《数理逻辑》课程习题与解答，由周晓聪和王肖燕编撰，针对2010级中山大学计算机科学系学生。内容涵盖命题逻辑的基本概念，包括命题的真值判断、变量的影响以及命题的自然语言表达等。" 数理逻辑是逻辑学的一个分支，主要研究数学推理的结构、性质和形式化方法。在这个摘要中，我们关注的是命题逻辑，它是数理逻辑的基础部分，主要涉及命题的定义、真值以及它们之间的关系。 首先，摘要中提到了判断句子是否为命题及其真值的问题。在数理逻辑中，命题是一个可以被断定为真或假的陈述。例如，“广州是广东省的省会”是一个命题，其真值为真；而“现在是什么时间？”是疑问句，不是命题，因为它不具有固定的真值。含有变量的句子如“3+x=9”和“2n>1000”，由于变量的不确定性，无法确定其真值，所以它们也不被视为命题。 接着，习题1.2涉及将逻辑公式转换成自然语言表达。这有助于理解逻辑连接词（如蕴含、否命、合取、析取）的实际含义。例如： - (1) p→q 表示条件语句，“如果p，则q”，在这里可理解为“如果你生病了，你会错过期末考试”。 - (2) ¬q↔r 表示双向蕴含，“q与r的真假情况相反”，即“你没有错过期末考试当且仅当你获得了课程学分”。 - (3) q→¬r 表示如果q成立，则r不成立，“如果你错过了期末考试，你就不会获得课程学分”。 - (4) p∨q∨r 是一个析取（或）语句，表示三个事件中的至少一个发生，“你生病了，或者错过了期末考试，或者获得了课程学分”。 - (5) (p→¬r)∨(q→¬r) 是两个条件语句的析取，意味着“如果你生病了，你不会获得课程学分，或者如果你错过了期末考试，你也同样不会获得”。 - (6) (p∧q)∨(¬q∧r) 是合取（且）和析取的组合，意味着“你既生病又错过了期末考试，或者你没有错过期末考试但获得了课程学分”。 这些练习题旨在帮助学习者理解命题逻辑的基本概念，掌握如何判断命题的真值以及如何用自然语言解释逻辑表达式。通过这样的训练，学生能够更好地理解和应用数理逻辑，这对于理解和验证数学证明、编程语言的设计以及人工智能等领域都至关重要。