压缩感知技术：线性测量与信号重构

"本文将介绍如何使用压缩感知理论来实现信号的高效编码和重构。压缩感知是一种突破传统奈奎斯特定理的理论，允许我们用远少于奈奎斯特采样率的样本来捕获信号的关键信息。我们将通过一个具体的MATLAB代码示例，展示稀疏信号的生成、线性测量的获取以及信号的重构过程，主要采用正交匹配追踪法(OMP)进行重构。" 在压缩感知中，关键概念包括稀疏表示、线性测量和信号重构。 1. 稀疏表示：稀疏性是压缩感知的核心。在某种变换域下，信号可以用少数非零系数来表示，这就是信号的稀疏性。在这个例子中，信号由四个不同频率的正弦波组成，可以通过傅里叶变换将其表示为具有稀疏系数的频域信号。 2. 线性测量：在信号采集阶段，我们不再按照奈奎斯特采样定理全采样，而是仅获取信号的部分线性测量。这里，我们生成一个随机的测量矩阵`Phi`，并乘以信号的转置`x.`，得到`s`作为线性测量值。 3. 信号重构：信号重构是通过解一个优化问题来实现的，目标是找到一个最稀疏的信号，使得其线性测量与实际测量尽可能接近。在这个例子中，我们使用正交匹配追踪法(OMP)。OMP是一种迭代算法，每次迭代中，它找到与当前残差相关性最强的测量矩阵列，并将其添加到已选择的原子集合中，然后更新残差和重构信号。 - 在每一轮迭代中，OMP首先计算恢复矩阵`T`的列向量与残差的内积，找出最大内积对应的列，将其添加到增量矩阵`Aug_t`中。 - 接着，将该列从恢复矩阵中移除（这里通过置零简化处理），并用最小二乘法计算新的残差对应的系数，更新重构的谱域向量`hat_y`。 - 迭代过程持续`m`次，通常`m`大于信号的稀疏度`K`。 - 最后，通过逆傅里叶变换将重构的谱域向量转换回时域，得到重构信号`hat_x`。 4. 信号对比：为了验证重构效果，我们比较原始信号`x`和重构信号`hat_x`，通过图形展示它们的相似性。这一步有助于评估压缩感知的性能和信号恢复的准确性。 这个MATLAB代码示例演示了压缩感知的基本流程，从稀疏信号的生成到信号的有效重构，展示了如何在资源有限的情况下捕获和恢复信号的关键信息。在实际应用中，压缩感知被广泛用于图像压缩、无线通信、医学成像等领域，因其高效的数据采集和处理能力而备受关注。