主成分分析PCA详解及计算步骤

"主成分分析（PCA）是一个统计方法，用于将高维数据转换成一组线性不相关的低维变量，即主成分。这些主成分是原始数据的线性组合，保留了数据集中的大部分方差，从而实现数据降维的目的。PCA的主要应用在于简化数据分析、可视化以及特征提取。" PCA的基本原理: 1. 假设有一个包含n个样本和p个变量的数据集，表示为n×p阶的数据矩阵X。每个样本由p个数值型变量组成。 2. PCA的目标是找到新的变量z1, z2, ..., zm (m≤p)，这些新变量是原始变量x1, x2, ..., xp的线性组合，并且彼此独立。这些新变量被称为主成分。 3. 主成分的确定基于两个原则：(a) 各主成分之间互不相关；(b) 每个主成分 zi 是所有可能的线性组合中方差最大的那个，依次类推，确保每个后续主成分与之前的所有主成分不相关，并且具有最大的方差。 4. 主成分的载荷lij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,p) 表示原始变量xj在主成分zi上的权重，这些载荷实际上是相关系数矩阵R的特征值对应的特征向量。 PCA的计算步骤: 1. 计算相关系数矩阵R：对于每个原始变量xi和xj (i, j=1,2,...,p)，计算它们之间的相关系数rij，即rij=rji。相关系数矩阵R是对称的，rij表示变量xi与xj之间的线性相关程度。 2. 找到相关系数矩阵R的特征值和特征向量：特征值反映了原始变量的方差在新维度上的分布，特征向量对应于主成分的方向。 3. 对特征值进行排序，选取前m个最大的特征值及其对应的特征向量。 4. 构建转换单位矩阵P，其中每一列是对应的m个最大特征值的归一化特征向量。 5. 应用线性变换：新变量Z = XP，这里的Z是含有主成分的新数据矩阵，而X是原始数据矩阵。 PCA应用实例: 1. 数据可视化：PCA可用于将高维数据降维到二维或三维空间，便于进行可视化分析。 2. 特征选择：PCA可帮助识别对模型预测最有贡献的特征，减少模型复杂度。 3. 图像压缩：在图像处理中，PCA可以降低图像的色彩或空间维度，实现数据压缩，同时保持图像的主要信息。 4. 生物信息学：在基因表达数据中，PCA可帮助识别影响基因表达模式的关键基因群。 通过上述PCA的基本原理和计算步骤，我们可以理解如何将复杂、多维的数据转换为更简单、更少的主成分，同时保持数据集中的主要信息。这种方法对于理解和解释大型数据集，尤其是在资源有限或需要减少计算复杂性的场景下，显得尤为重要。