对策论基础与矩阵对策解析

"对策论，又称博弈论，是运筹学的一个重要分支，主要研究具有对抗性质的行为，如游戏、商业竞争、军事冲突等。它由数学家冯·诺伊曼在1927年创立，通过数学模型分析决策者的策略和结果。对策问题通常涉及三个基本要素：局中人、策略集和赢得函数。局中人是指有权决定行动方案的参与者，策略集是每个局中人可以选择的不同行动，而赢得函数则定义了各局中人在不同策略组合下的得失情况。 对策问题分为纯策略和混合策略。纯策略是指局中人只选择一个固定的行动，而混合策略则允许局中人按照一定的概率分布选择多个行动。矩阵对策是对策论中的一个经典模型，其中包含两个局中人，每个局中人都有一组策略，且每对策略组合都有一个确定的收益值。对于矩阵对策，寻找最优策略是关键，这可能包括寻找纯策略意义下的平衡解，即鞍点，或者寻找最优的混合策略。 15.2矩阵对策的最优纯策略：在某些情况下，对策问题可能存在最优的纯策略，即每个局中人都有一个固定策略，使得无论对方如何选择，其收益都不低于采用其他策略。这样的策略组合被称为平衡解或纳什均衡，以著名数学家约翰·纳什命名。 15.3矩阵对策的混合策略：如果对策问题不存在纯策略平衡解，那么局中人可能需要采用混合策略。混合策略是通过概率分布来选择策略，使得对手无法预测具体的选择。对于双方的最优混合策略，可以构建互为对偶的线性规划模型来求解。 15.4求解矩阵对策中的计算技巧和15.5两人有限非零和对策：这部分内容可能涉及解决对策问题的具体计算方法，如单纯形法，以及处理更复杂情况的理论和技术。在存在鞍点的情况下，最优策略可以直接得出；若不存在，可以通过计算双方的最优混合策略来确定。 在给定的问题中，已知甲方的最优混合策略为(0.8, 0.2, 0)，要求利用对偶性质找出乙方的最优混合策略以及甲方的期望决策值。这通常涉及到解线性规划问题，通过对甲方策略的分析，反推乙方的最优响应。 对策论是一种强大的工具，用来分析和解决现实世界中的决策问题，尤其是在多方利益冲突和竞争的场景下。通过建立数学模型，我们可以预测和优化参与者的行动，从而达到最有利的结果。"