"圆锥曲线定值问题的处理方法和技巧 - 例题求解"

定值问题是指在圆锥曲线中，某些要素的变化过程中，有一个量的值保持不变的问题。处理定值问题常采用确定核心变量、利用条件表示其他量，并将所求表达式化简为常数的方法。处理定值问题时，可先通过特殊位置求出定值，给后续一般情况的处理提供方向；在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，向定值靠拢；巧妙利用变量间的关系，如点的坐标符合曲线方程，以实现整体代入简化运算等技巧。 以例题为例，题目给出双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为43yx=，右焦点为(5,0)，双曲线的实轴为12AA，P为双曲线上一点（不同于AA），直线12,AP和12,AP分别与直线9:5lx=交于M和N两点。题目中要求解双曲线的方程，并判断FM×FН。 首先，我们可以通过双曲线的定义和渐近线方程求出双曲线的方程。根据定义，双曲线的焦点到直线的距离与焦点到该点的距离的差的绝对值等于常数e。由于渐近线方程为43yx=，根据双曲线的性质，焦点到渐近线的距离等于实轴的一半，即5/2。所以e=5/2。又由于中心在原点，所以焦点坐标为(±ae,0)，即焦点坐标为(5/2,0)和(-5/2,0)。双曲线的方程为(x^2)/a^2-(y^2)/b^2=1，其中a为焦点到原点的距离，b为焦点到实轴的距离。由于焦点坐标为(5/2,0)，所以a=5/2。又由于实轴为12AA，所以b=12。代入双曲线方程，可得(x^2)/(5/2)^2-(y^2)/12^2=1，化简后得到4x^2-y^2=100，即双曲线的方程。 接下来，我们需要求解直线12,AP和12,AP分别与直线9:5lx=交于M和N两点。首先，我们求解直线12,AP与直线9:5lx=的交点M。直线12,AP的方程为y=kx，其中k为斜率。由双曲线的性质可知，直线12,AP与双曲线的斜率之积等于实轴的斜率。实轴的斜率为0，所以k=0。代入直线12,AP的方程可得y=0。直线9:5lx=的方程为y=(9/5)x，将直线12,AP的方程代入可得0=(9/5)x，所以x=0。所以点M的坐标为(0,0)。 同理，我们求解直线12,AP与直线9:5lx=的交点N。直线12,AP的方程为y=kx，其中k为斜率。由双曲线的性质可知，直线12,AP与双曲线的斜率之积等于实轴的斜率。实轴的斜率为0，所以k=0。代入直线12,AP的方程可得y=0。直线9:5lx=的方程为y=(9/5)x，将直线12,AP的方程代入可得0=(9/5)x，所以x=0。所以点N的坐标为(0,0)。 由题意可知F为双曲线的焦点的坐标(5/2,0)。所以FM的距离为|5/2-0|=5/2，FN的距离为|-5/2-0|=5/2。所以FM×FN= (5/2)×(5/2)=25/4。 综上所述，双曲线的方程为4x^2-y^2=100，FM×FN=25/4。这个例题通过确定核心变量并利用条件表示其他量，运用双曲线的性质和方程，以及求解直线交点的方法，解决了定值问题。在处理过程中，通过确定特殊位置(0,0)求出定值，减少了变量的个数，使得求解过程更加简化。这些技巧与方法可以在处理其他定值问题中得到应用。