p-Laplacian问题的正负解存在性证明

"这篇论文是2012年10月曲阜师范大学学报第38卷第4期发表的，作者是YAN Xun-tian，主要探讨了p-Laplacian问题的正解和负解的存在性，研究了在不严格限制（PS）序列有界性的条件下，渐近线性椭圆问题的解决方案。" 本文的核心内容是关于p-Laplacian方程的解的存在性理论，这是一种非线性偏微分方程，广泛应用于物理、工程和数学中的各种模型。p-Laplacian算子是高维欧几里得空间中的一类重要的椭圆算子，其形式为div(|∇u|^{p-2}∇u)，其中p>1，通常称为p-拉普拉斯算子，当p=2时退化为传统的拉普拉斯算子。 论文首先介绍了研究的背景和主要结果。研究的目标是解决以下边界值问题： \[ -\Delta_p u = f(x,u), \quad \text{在} \ \Omega \] \[ u = 0, \quad \text{在} \ \partial \Omega, \] 其中Ω是RN中的一个有光滑边界的有界区域，f(x, u)是满足一定条件的Carathéodory函数。Carathéodory函数是指对于几乎所有的x∈Ω，u↦f(x, u)连续，而对于所有u∈R，x↦f(x, u)可测。函数f满足的关键条件是： \[ (F_1) \ f \in C(\Omega \times \mathbb{R}, \mathbb{R}), \ f(x, 0) = 0, \] 这表明非线性项在u=0时消失。此外，f(x, u)可能还满足其他条件，例如增长条件或局部Lipschitz条件，这些条件对于确保解的存在性和唯一性至关重要。 为了证明正解和负解的存在，作者采用了数学分析中的若干方法，如（PS）条件（Palais-Smale条件）和山峰通道定理（Mountain Pass Theorem）。（PS）条件通常用于保证泛函的临界点的存在，而山峰通道定理则是一种构造非平凡解的几何方法，它在处理非对称或非凸函数的临界点问题时非常有效。 在没有额外假设（PS）序列的有界性的情况下，这个工作展示了一种新的证明策略。这表明即使在某些弱条件下，仍然可以证明非线性椭圆问题解的存在性，这对于理解和应用这类问题具有重要意义，特别是因为p-Laplacian方程的解通常与许多实际问题密切相关，如流体力学、材料科学和图像处理等。 这篇论文为p-Laplacian方程解的存在性理论提供了新的见解，拓宽了我们对这类非线性偏微分方程的理解，并为未来的研究提供了理论基础。