Minkowski空间中零能量Bethe-Salpeter方程解：非均匀系统的研究
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更新于2024-07-16
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本文主要探讨了在Minkowski空间中解决不均匀Bethe-Salpeter方程时，特别是在零能量极限下的问题。Bethe-Salpeter方程是量子场论中描述相互作用粒子系统的基础方程，它结合了两个大质量标量粒子之间的交换，这对于理解高能物理中的强相互作用过程至关重要。作者们采用了一种创新的方法，即Nakanishi积分表示，这是一种在连续统中首次尝试利用的数值研究方法。
在研究中，作者们特别关注了零能量状态，这是一个理论上的关键点，因为在这种情况下，系统的性质可能会展现出非相对论效应的显著特征。他们通过两种源自Nakanishi框架的积分方程，计算了不同Yukawa耦合常数对应的散射长度，这是衡量粒子间相互作用强度的重要物理量。这种计算与之前在相对论框架下获得的类似结果进行了对比，同时也与非相对论性估计进行了校验，以验证Minkowski空间中不均匀Bethe-Salpeter方程处理的真实性和有效性，即使在低能量条件下也是如此。
此外，文章还深入探讨了动态函数，如中西权函数和零能量光前波函数的失真部分。特别是在接近零能量极限时，发现了一个关键现象：中西权函数的支持宽度出现了突然的变化，这可能对后续的相位移评估具有重要意义。这个发现对于理解量子场论中的基本物理行为，尤其是在极端能量条件下的行为，提供了新的洞察。
这项工作不仅提升了我们对不均匀Bethe-Salpeter方程在Minkowski空间中行为的理解，而且为零能量极限下的物理现象提供了定量分析，这对于理论物理学和粒子物理实验的设计都具有实际价值。通过将这些结果与不同的理论框架和估算进行比较，作者们展示了在实际应用中，即使在最极端的条件（如零能量）下，非perturbative方法也能提供准确的理论预测。
Eur. Phys. J. C (2015) 75 :398 Page 5 of 23 398
iK
(Ld)
(k, k
i
, p) = i
(−ig)
2
(k −k
)
2
− μ
2
+ i
. (17)
First, one inserts the Nakanishi Ansatz for the BS amplitude,
Eq. (1), in the ladder BSE. Then one can perform the inte-
gration over k
−
without any approximation, and obtain the
ladder inhomogeneous BSE projected onto the null-plane,
i.e. an integral equation that relates ψ
dist
given by Eq. (10),
to the dynamics dictated by the ladder kernel (see details in
Ref. [9]). Namely, one gets
∞
−∞
dγ
1
−1
dz
g
(+)
(Ld)
(γ
, z
, z;κ
2
, z
i
)
[D
2
− i]
2
=
g
2
γ + z
2
m
2
+ (1 − z
2
)κ
2
− i
W
(Ld)
(γ, z;κ
2
, z
i
)
+
1
2(4π)
2
∞
−∞
dγ
1
−1
dζ
1
−1
dζ
g
(+)
(Ld)
(γ
,ζ,ζ
;κ
2
, z
i
)
×
∞
0
dyF(y,γ,z;γ
,ζ,ζ
)
, (18)
where W
(Ld)
is
W
(Ld)
(γ, z;κ
2
, z
i
) =
1
(z − z
i
)
×
⎧
⎨
⎩
θ(z − z
i
)
M
2
0
4
(1 + z) −
M
2
4
(1 + z
i
) +
μ
2
+γ
(z−z
i
)
− i
−
θ(z
i
− z)
M
2
0
4
(1 − z) −
M
2
4
(1 − z
i
) +
μ
2
+γ
(z
i
−z)
− i
⎫
⎬
⎭
, (19)
and F is
F(y,γ,z;γ
,ζ,ζ
) =
(1 + z)
2
(1 + ζ
− z
i
ζ)
2
×
θ(ζ
− z − z
i
ζ)
D
4
(y,γ,z;γ
,ζ,ζ
;z
i
) − i
2
+
(1 − z)
2
(1 − ζ
+ z
i
ζ)
2
×
θ(z + z
i
ζ − ζ
)
D
4
(y,γ,−z;γ
,ζ,−ζ
;−z
i
) − i
2
, (20)
where
D
4
(y,γ,z;γ
,ζ,ζ
;z
i
) = γ + z
2
m
2
+ κ
2
(1 − z
2
)
+Γ(y, z, z
i
,ζ,ζ
,γ
) + Z(z,ζ,ζ
;z
i
)
M
2
2
zz
i
(21)
with
Γ(y, z, z
i
,ζ,ζ
,γ
) =
(1 + z)
(1 + ζ
− z
i
ζ)
×
yA(ζ, ζ
,γ
,κ
2
) +
μ
2
y
+ μ
2
+ γ
, (22)
Z(z,ζ,ζ
;z
i
) =
(1 + z)
(1 + ζ
− z
i
ζ)
ζ, (23)
and
A(ζ, ζ
,γ
,κ
2
) = ζ
2
M
2
4
+ κ
2
(1 + ζ
2
) + γ
. (24)
Because of the presence of the theta functions in Eq. (20),
one has
1 ≥|ζ |≥|Z(±z,ζ,±ζ
, z
i
)|. (25)
It should be pointed out that Eq. (18) is relevant for the cal-
culation of the phase shifts and, in the zero-energy limit, of
the scattering lengths (cf. Sect. 3).
After combining the global propagation with the denom-
inator in W
(Ld)
(γ, z;κ
2
, z
i
) and repeating the same step for
F (see Ref. [9]) one can apply the Nakanishi theorem on
the uniqueness of the weight function for an n-leg transition
amplitude [12]. It should be recalled that the uniqueness the-
orem has been proven within a perturbative framework, while
in the present context, a nonperturbative one, the uniqueness
is conjectured and numerically checked. Eventually, one gets
a new integral equation for the Nakanishi weight function,
which allows us to discuss the support issue and to understand
the sharp transition from the bound case to the scattering one
(see Appendix C). The integral equation from the uniqueness
theorem reads (see [9])
g
(+)
(Ld)
(γ, z
, z;κ
2
, z
i
) = g
2
θ(−z
)δ(γ −γ
a
(z
))
×
θ(z − z
i
)θ
1 − z + z
(1 − z
i
)
+θ(z
i
− z)θ
1 + z + z
(1 + z
i
)
−
g
2
2(4π)
2
∞
−∞
dγ
1
−1
dζ
1
−1
dζ
g
(+)
(Ld)
(γ
,ζ,ζ
;κ
2
, z
i
)
×
(1 + z)θ(ζ
− z − z
i
ζ)
(1 + ζ
− z
i
ζ)
h
(γ, z
, z, z
i
;γ
,ζ,ζ
,μ
2
)
+
(1 − z)θ (z − ζ
+ z
i
ζ)
(1 − ζ
+ z
i
ζ)
h
(γ, z
, −z, −z
i
;γ
,ζ,−ζ
,μ
2
)
(26)
where
γ
a
(z
) = z
(2κ
2
− μ
2
) ≥ 0, (27)
and h
(γ
, z
, z, z
i
;γ
,ζ,ζ
,μ
2
) is given by
h
(γ
, z
, z, z
i
;γ
,ζ,ζ
,μ
2
) =
(1 + z)
(1 + ζ
− z
i
ζ)
×
∂
∂λ
∞
0
dy
1
0
dξδ
z
− ξ Z (z,ζ,ζ
;z
i
)
×δ
F(λ, y,ξ;γ
, z,ζ,ζ
,γ
;z
i
,κ
2
,μ
2
)
λ=0
, (28)
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