企业投资决策的非线性优化问题与模型构建

第03章非线性规划探讨了在目标函数或约束条件中包含非线性函数的优化问题。相较于线性规划，非线性规划更为复杂，缺乏通用的解决方法，每个算法都有其特定的应用场景。本章通过实例——投资决策问题来介绍非线性规划的基本概念。 投资决策问题假设企业面临多个投资项目，需在有限资金下选择最优组合。决策变量表示是否对每个项目进行投资，用xi（0或1）表示，目标是找到在满足投资总额不超过总资金A、至少投资一个项目的条件下，最大化收益与投资的比率。数学模型可以表示为： \[ \begin{align*} \text{maximize} \quad & \frac{\sum_{i=1}^{n} i x_i b}{\sum_{i=1}^{n} i x_i a} \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{i=1}^{n} i x_i a \leq A \\ & x_i \in \{0, 1\}, \quad i = 1, \ldots, n \\ & \sum_{i=1}^{n} x_i = 1 \end{align*} \] 这个模型可以推广到一般的非线性规划问题，形式化为： \[ \begin{cases} \text{minimize} \quad f(x) \\ \text{s.t.} \quad g_j(x) \leq 0, \quad j = 1, \ldots, m \\ & h_j(x) = 0, \quad j = m+1, \ldots, p \\ & x \in \mathbb{R}^n \end{cases} \] 其中，\(x\) 是决策变量向量，\(f(x)\) 是目标函数，\(g_j(x)\) 和 \(h_j(x)\) 分别是不等式和等式约束。非线性规划问题通常涉及求解非线性目标函数在一组约束条件下的最小值或最大值，这类问题在实际应用中广泛存在，如经济学、工程学和机器学习中的参数优化等。然而，由于非线性问题的非凸性，没有像单纯形法那样的通用算法可以解决所有问题，解决策略通常依赖于数值方法、梯度下降、牛顿法、整数规划等技术，每种方法都有其局限性和适用条件。因此，对于非线性规划，理解和掌握特定问题的特性，选择合适的算法至关重要。