"第三章：非线性规划实例与定义"

第三章 非线性规划 §1 非线性规划 在非线性规划中，目标函数或约束条件中包含非线性函数。与线性规划相比，解决非线性规划问题更加困难。目前还没有适用于所有问题的通用算法，各个方法都有其特定的适用范围。本章将通过实例介绍非线性规划数学模型的一般形式，并介绍相关的基本概念。 例1是一个投资决策问题。某企业有n个项目可供选择投资，且至少要对其中一个项目进行投资。已知该企业拥有总资金A元，投资第i个项目所需花费ia元，并预计可收益ib元。问题要求选择最佳投资方案。 我们可以设投资决策变量为xi，表示决定投资第i个项目的取值为1，不投资则取值为0。由此可得投资总额为∑niiixa，投资总收益为∑niiixb。由于企业至少要对一个项目投资，并且总投资金额不能超过总资金A，故有以下限制条件∑niiixa≤A。另外，由于投资决策变量xi只能取值0或1，所以还有xi∈{0,1}。 根据以上建模，我们得到了投资决策问题的非线性规划数学模型，具体如下： 目标函数：max∑niiixb 约束条件：∑niiixa≤A 变量约束：xi∈{0,1} 在这个问题中，我们需要通过求解上述非线性规划模型来确定最佳投资方案。然而，由于目标函数和约束条件中都包含非线性函数，所以无法直接应用线性规划中的单纯形法等通用方法来求解。解决非线性规划问题需要使用专门的非线性优化算法。 非线性规划问题的解法方法有很多种，常见的方法包括梯度法、牛顿法、拟牛顿法等。选择合适的方法取决于具体问题的特点和规模。需要注意的是，虽然这些方法可以有效地解决许多非线性规划问题，但并不保证能够找到全局最优解，只能找到局部最优解。 总之，非线性规划是一类比较复杂的优化问题，与线性规划相比具有更大的挑战性。通过实例，我们了解了非线性规划数学模型的一般形式，并介绍了非线性规划的基本概念。在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点选择合适的求解方法，以获得最佳解决方案。