基于非线性模型的不确定性过程操作的精确参数规划

工程3（2017）202研究智能流程制造-Article基于非线性模型的不确定性过程操作的精确参数规划瓦西利斯·M拉扎罗斯？查里托普洛斯维韦克·杜瓦·帕帕吉奥尔久*伦敦大学学院化学工程系过程系统工程中心，伦敦WC1E 7JE，英国ARt i clEINf oA b s tRAC t文章历史记录：2016年11月30日收到2017年2月8日修订2017年2月28日接受2017年3月24日在线发布保留字：参数编程不确定性过程综合混合整数非线性规划在目前的工作中，两个新的，（多）参数规划（MP-P）启发算法的混合整数非线性规划（MINLP）问题的解决方案，其主要重点是过程综合问题。该算法是开发的特殊情况下，其中出现的非线性，因为对数项，与第一个被开发的确定性的情况下，和第二个参数的情况下（P-MINLP）。其核心思想是通过将二进制变量和/或不确定参数作为符号参数，以解析的方式来制定和求解一阶Karush-Kuhn-Tucker（KKT）条件的平方系统。为此，采用了符号操作和解决方案技术。为了证明所提出的算法的适用性和有效性，两个过程综合的案例研究。相应的解决方案，然后使用国家的最先进的数值MINLP求解器进行验证。对于p-MINLP，该解由作为不确定参数的显函数的最优解给出。© 2017 The Bottoms.由爱思唯尔有限公司代表中国工程院和高等教育出版社有限公司出版这是CC BY-NC-ND下的开放获取文章许可证（http：//creati v ecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍过程工厂的设计和运行受到许多不确定参数的影响，如波动的生产产量、不断变化的市场价格和需求等。产品需求减弱、催化剂失活或公司的财务困境只是优化工艺的众多潜在原因中的一小部分。为了确保设计出最佳工艺，必须证明，如果发生物理或社会经济变化，拟议的设计既经济又安全。过程综合[1]是工厂设计的一个关键方面，对公司有重大的财务影响。这随后激发了该领域的大量研究，以便设计不仅将准确地设计最佳路线而且还将准确地设计最鲁棒路线的方法。此外，由于该问题的计算复杂性，为了使计算量最小化，所制定的算法必须是有效的竞争成本化工装置的过程综合问题一般可归结为以下几个主要组成部分的集成系统：①换热网络综合，②反应器路径综合;③分离系统综合。再-进行反应器路径合成以确定用于所需产物的最佳反应器配置。在这个问题中，考虑了从系统的热力学边界到反应路径的许多因素。反应堆网络优化主要有三种方法：超结构法、几何法和组合目标法[2]。超结构方法要求同时综合整个过程，这可能非常有效，因为系统的所有元素都可以根据整个过程来确定。然而，解决方案的有效性是显着依赖于制定的模型来模拟上层建筑的细节。几何方法是在可达区（AR）理论的基础上发现的，该理论是为了* 通讯作者。电子邮件地址：v. dua@ucl.ac.ukhttp://dx.doi.org/10.1016/J.ENG.2017.02.0082095-8099/© 2017 THE COMEORS.由爱思唯尔有限公司代表中国工程院和高等教育出版社有限公司出版。 这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http：//creati v ecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。可在ScienceDirect工程杂志主页：www.elsevier.com/locate/engV.M. Charitopoulos等人/工程3（2017）202203考虑到具有多个相互作用的反应器和外部热交换器的影响[3]。组合靶向方法采用来自上述两种技术的元素，因为它源于超结构方法和AR理论。几何和组合靶向方法都与AR理论相结合，限制了它们的实用性。这是由于AR理论整合了技术标准，如转化率和选择性，而不是财务标准;因此，从经济角度来看，解决方案可能不是最佳的。Bedenik等人[2]开发了一种解决反应堆网络问题的新技术;该技术使用了超结构方法，并对其进行了重新表述，以关注模型的财务标准，包括经济不确定性随时间的影响，这方面将在本报告中进一步讨论。因此，他们的技术更有可能成功地找到最佳配置，尽管它需要一个非常详细的数学模型。绝大多数问题涉及过程系统领域，tems工程包括连续和离散的决策。典型地，离散决策解释了过程的基本逻辑，例如反应途径的选择或规划问题的容量的扩展，而连续决策解释了产品流速、销售量等。为了对这类决策进行数学建模，采用了连续变量和0-1整数变量，从而产生了混合整数规划（MIP）问题。对于通过非线性关系表示控制律的情况，所得到的问题是混合整数非线性规划（MINLP）问题，其通常可以被公式化为如下[1]：z*最小值fx，yx为oh然而，数学模型容易受到许多不确定性的影响，这些不确定性可以大致分为内源性和外源性[14]。内生不确定性主要出现在约束条件的左侧，如反应产率和化学计量系数，而外生不确定性通常出现在约束条件的右侧（RHS）和目标函数系数（OFC）。为了处理优化问题中的不确定性，文献中提出了许多解决方法;主要技术是随机规划、鲁棒优化和（多）参数规划（mp-P）[15]。虽然前两种技术需要可用于表征不确定性的某种形式的数据通过求解mp-P问题，通常旨在将优化变量计算为不确定参数的显式函数，以及参数空间中每个函数保持最优的相应区域，即临界区域（CR）。 图 1提供了这样一个问题的概念图。经过30多年的研究[15，16]，mp-P站在有扎实的理论基础，有各类优化问题的算法。然而，尽管在MP-P领域的不断发展，（多）参数（MP）-MINLP类仍然是研究最少的，即使是在只考虑RHS不确定性的情况下。这种缺乏研究的原因是非凸性，这是涉及到解决潜在的参数优化问题。早期的工作主要集中在单参数MINLP（p-MINLP）S.T. gx，0xXRnx，yY$0，1ny（一）[17-其中f是标量函数;x是属于有界集合X的连续变量的n×维向量;y是属于离散集合Y的二元变量的n×维向量;g是说明质量界限、需求满足等的约束的向量;z* 是指优化问题的最优解。由于其通用的数学性质，MINLP问题已经在广泛的问题中得到应用，例如反应器网络的过程综合[4]，HEN[5]，过程规划和制造过程的企业范围优化[6]，仅举几例。过程综合形成了工程领域中一类基本的MINLP问题，其中需要同时决定处理单元、互连和设计/操作变量的选择[7]。尽管MINLP能够比其线性对应物（混合整数线性规划，MILP）更准确地模拟所研究的系统，但由于可能出现的非凸性，这些问题难以解决[8]。在公开文献中已经提出了许多数值技术来解决某些类别的MINLP，例如广义Benders分解（GDB）[9]，外近似（OA）算法[10]和扩展切割平面（ECP）方法[11]。上述算法可以在关于目标函数的凸性和所涉及的非线性形式的特定假设下以严格的方式使用另一类MINLP求解算法属于全局优化的范围[12，13]，其中采用专门的数值技术和凸逼近，以便在ε-最优性的公差内解决相应的问题。原则上，MINLP的解决方案可以是计算上的要求，即使在没有不确定性被考虑的情况和主问题的有效的上限和下限的生成，分别。在他们的方法中，原始问题是通过固定相关整数变量而导出的mp-非线性规划（mp-NLP）问题，而主子问题旨在提供改进的整数解。Dua等人[23]研究了mp-MINLP的全局优化。在参考文献[24]中提出了使用代数几何技术的多项式参数优化技术，其中圆柱代数分解和GröbnerFig. 1. mp-P范围的概念图。204V.M. Charitopoulos等人/工程3（2017）202基理论被用来解决模型预测控制（MPC）方案中出现的多项式方程组。最近，Charitopoulos和Dua[25]提出了一种新的算法，用于（多）参数混合整数多项式优化（mp-MIPOPT）问题的精确解，重点是混合多项式系统的显式控制。在目前的工作中，我们提出了两个算法的分析解决方案的MINLP对数非线性的情况下。其关键思想是解析求解由一阶Karush-Kuhn-Tucker（KKT）条件导出的平方方程组，如Eqs中所示（7-11）。mp-PP：minfx，yx为ohS.T. hx ， y0gx，y0xnx0，ny（七）（八）（九）（十）（十一）Gröbner的基础理论和符号操作原则。第一个算法是为求解确定性MINLP问题而设计的，而第二个算法是对单参数MINLP问题的扩展对问题的约束的RHS的扰动。与过程合成相关的问题，然后检查，以下如所观察到的，mp-PP现在在松弛的整数变量y中是参数化的。等式（12-KKT系统：L提出的算法。论文的其余部分组织如下：在第2节中，建立了本工作的理论框架;接下来，给出了求解一类特定的确定性问题的两个算法。Xhx，0jg jng（十二）（十三）（十四）和参数MINLP。所提出的算法，然后测试两个案例研究有关的过程综合问题，lems，这些都在第3节。在第4.1节中，在介绍了研究中的问题及其使用最先进的求解器的数值最优解之后，我们通过与第3节中提出的解决方案进行比较，验证了所提出接下来，在第4.2节中，我们介绍了主要的计算步骤以及在非确定性情况下应用所提出的算法最后，第5节载有结论性意见。2. 理论和算法最近，Dua[26]提出了一种用于解决MIPOPT问题的mp启发算法。该算法基于一般MIPOPT 问题的一阶 KKT条件一般来说，MIPOPT问题可以描述为方程：（2-6）。MIPOPT：其中Lx，y，μ，λfx，y$> λTg$$> μTh <，y是mp-PP的Lagrange函数，且ng表示不等式的数目。问题mp-PP中考虑的应变。注意，Eqs。(12-14）形成多项式方程的平方系统，其可以关于优化变量和拉格朗日乘子解析地求解。遵循Dua[26]提出的算法，使用符号操作软件解析地求解KKT系统，从而计算满足等式的所有可能的解。(12–14) as explicit functions of the显式的解决方案，然后验证通过评估原始和对偶可行性条件以及一些约束资格，所有可能的组合的y向量。原则上，所提出的方法有可能被扩展到更一般的类MINLP问题的决定以及参数的情况下，这种潜力进行检查。2.1. 基于参数规划的MINLP如前所述，Dua[26]研究了MIPOPT问题的情况。然而，由于minfx，yx为ohS.T. hx，y0gx，0xRnx0，ny（二）（三）（四）（五）（六）上述算法是通过使用Gröbner基理论的平方方程组的解析解，该算法可以扩展到涉及对数函数的MINLP问题的类。通过密切关注Dua [26]描述的发展，我们设计了对数非线性情况的算法1。注意，在本工作中，步骤3-其中x是属于有界集合X的连续变量的向量;y表示整数变量的向量，其是n个y维的;h是等式约束的向量，并且是n个h维的;g是不等式约束的向量， 并且是n 个 g 维的 ; 并且 f 是标量目 标函数。整 数变量的问题（MIPOPT）是放松的，因为它们是连续的，并被视为参数，限制在各自的范围内。因此，出现（多）参数多项式问题（mp-PP），[27] 第 二 十 七 话 然 后 在 获 得 最 优 解 后 ， 对 线 性 独 立 约 束 条 件（LICQ）进行评估，以确认其最优性。2.2. 基于参数规划的不确定MINLP问题算法1可以促进确定性MINLP问题。然而，对于必须考虑不确定性的情况，该算法算法1求解MINLP问题的算法第1章R放宽了二元变量，即，y∈{0，1}ny→[0，1]ny，作为连续参数返回到其相应的上界.第二步，建立一阶KKT方程，即：等式（12-14）。步骤3参数化地求解所得到的平方KKT系统，以计算优化变量和拉格朗日乘子作为松弛二元变量的显式函数，即，x（y）、λ（y）和μ（y）。步骤4将二元变量固定为所有可能的组合，评估原始和对偶可行性条件。步骤5筛选计算出的候选解以确定最优解。这涉及到确保原始可行性和对偶可行性，以及一些约束条件。V.M. Charitopoulos等人/工程3（2017）202205可以被修改，以便处理约束的RHS上的参数变化其思想是增加不确定参数的向量;也就是说，除了整数变量（y）之外，还考虑新的扰动向量（θ）由此产生的p-MINLP问题可以用公式表示，如等式2所示（15-20）。p-MINLP：对于系统，通过清楚地示出变化的参数将如何影响目标函数。3. 案例研究本节介绍了两个与过程合成相关的案例研究，以说明所提出的方法。首先，简短的描述minfx，yx为ohS.T. hx，y，θ0gx，y，θ0xRnx0，nyθθR（十五）（十六）（十七）（十八）（十九）（二十）并给出了相应的数学模型，得到了一个具有对数非线性的MINLP问题。接下来，我们使用最先进的数值优化求解器报告每个问题的数值解。对于相应MINLP的求解，采用SBB求解器，CONOPT3作为NLP子 求 解 器 。 这 些 问 题 在 配 备 3.7 GHz 处 理 器 、 16 GB RAM 和Windows 7 64位操作系统的戴尔工作站中的GAMS 24.4.1中实现请注意，θ是允许在等式/不等式约束的RHS上出现的有界标量参数。制定相应的一阶KKT条件的结果在Eqs。(21–23), which are nowparametric in bothp-KKT系统：L3.1. 案例研究1案例研究1改编自Floudas的书[1]。该工艺合成问题涉及通过工艺1、2和3由原料A和B生产组分C产品C只能通过三种途径之一生产：仅通过工艺1Xhx，y，θ0jg jng（二十一）（二十二）（二十三）通过过程1和2，或者通过过程1和3。第2和第3步不能同时进行。图2给出了相关工艺流程图的概念表示。目标是使成本减去收益最小化核心-由于参数摄动（θ）和整数变量（y）是符号表达式，参数KKT（p-KKT）系统仍是一个平方非线性方程组的响应的优化问题是制定为一个MINLP涉及Eqs。（24-38）。p-KKT系统的解返回候选解，即优化变量（x（y，θ））和Lagrange乘子（λ（y，θ），μ（y，θ））的参数显式表达式。注意，即使候选解满足平方方程组，它们也可能违反原始/对偶可行性条件。在计算出候选解之后，二进制变量被固定为它们的可能值;因此，优化变量和拉格朗日乘子的表达式现在是S.T.最小值F 11C17B1B2B 1.2B31.8A2粤备16018888号-1BA0B1.2 A 0C0.9B1BB0C10（二十四）（二十五）（二十六）（二十七）（二十八）只在θ中显式，即x（θ）、λ（θ）和μ（θ）。请注意，在此步骤中，优化变量的显式表达式被代入原始约束，即等式（16，17），和原始的B2型 10.91y2 0（二十九）评估候选解决方案的可行性就您的申请对偶可行性，我们接下来评估与不等式约束相关联的拉格朗日乘子满足原始/对偶可行性条件的候选解称为可行解。每个可行解都有一个可变性的参数范围，在此范围内它仍然是可行的 ，即206V.M. Charitopoulos等人/工程3（2017）202123CR。算法2给出了求解p-MINLP的主要计算步骤。步骤1的从Mathematica 10生成的输出应该创建目标函数-B30.9y0C，B 1，B 2，B 3，A 2，A 3年2月3日1y，y，0，3表1给出了最佳解决方案，如参考文献1所述。[1]的文件。表1最优解的例子从参考。[1]的文件。（三十）(31-36）（三十七）（三十八）二进制变量和不确定参数方面的问题。然后可以使用这些数据来帮助确定最佳配置y1y2y3C B1B2B3A2A3f1011001.111101.5242算法2求解p-MINLP问题的算法。第1步选择要在给定参数中考虑的不确定变量。 Relaxbina ry变量，即， y∈{0，1}ny→[0，1]ny，作为限制于它们各自边界的连续参数。第二步，建立一阶p-KKT方程，即：等式（21-23）。步骤3参数化地求解所得到的p-KKT系统，以计算优化变量和拉格朗日乘子作为松弛的二进制变量和不确定参数的显式函数，即，x（y，θ）、λ（y，θ）和μ（y，θ）。步骤4将二元变量固定为所有可能的组合，评估原始和对偶可行性条件。步骤5筛选得到的解，以确定二元变量的可行配置。这涉及到确保一阶KKT条件已被满足，并且目标函数已被最大化或最小化。步骤6选择整数解，考虑不确定参数对目标函数的V.M. Charitopoulos等人/工程3（2017）2022073.2. 案例研究2第二个案例研究改编自参考文献[29]，是该文献中示例1的修改版本。问题的表述如下：最小值5 6 8 10 718x4.1. 基于参数规划的MINLP4.1.1. 案例研究1在将模型中的二元变量作为符号参数后，算法的第一步是建立拉格朗日函数和一阶KKT方程。La- grange函数由Eq.（52）和相应的一阶S.T.1 2 3 1 619.2xx2100.8lnx20.96x1x20.8 0.8x6x2x10x2y10（三十九）（四十）（四十一）（四十二）KKT条件由方程给出（53-70）。L11CB1B21.2B31.8A 1.8A33.5y1y 1.5y31B2ln1A2 2 B31.2 ln1A3 C 0.9BBBCyB1y（五十二）3 1 2 3 1 1 2 20.92x1x2 y0（43） B 1y C B B B A Ax21.2 x1x2xUy32（四十四）330.9304516 27 38 29 3x1，x2，x60(45-47） dL 1.8 10（53）x2，x2，x1（48-50）dA21A21 2 6dL1.22 （五十四）于伊 1（五十一）1.8 0dA1至A91 23 3dL70（55）其中U= 2是表2给出了最佳dB1解决方案，如在Ref.[29].dL10.90（56）该公式通过放宽对dB21 3 2 6变量，从而忽略Eqs。 (48–50); the optimal solutiondL 1.20.90（57）然后使用GAMS 24.4.1计算最佳的解决方案，对于这个前-使用SBB求解器获得样本，如表3所示。4. 结果dB32 3 3 7dL11 0dC3 1 41（58）（59）B  1 联系我们（60）上一节说明了过程综合问题220.92并报告了它们的最佳数值解。这一次，第一节现在说明了亲的主要计算步骤B1 联系我们（61）330.93提出的算法首先，在第4.1节中，每个问题的确定性情况都得到了解决，并使用相应的数值解进行了验证，如前一节所计算的那样。接下来，在第4.2节中，引入并解决参数优化问题，采用本研究中提出的p-MINLP算法。 4CBA0B1.2 A 0C0.9B1BB0(62-67）（68）（69）（七十）表2图二、显示待优化流程的工艺流程图。等式随后使用Mathematica 10求解（53这一步的输出是一个候选解的列表，其中给出了优化变量和相应的拉格朗日乘子作为二进制变量的显式函数。总共计算了然而，其中40个解决方案被忽略，因为它们涉及原始/双重可行性方面的矛盾要求;其余58个将进一步研究表4给出了Mathematica 10生成的输出示例。如表4所示，优化变量和拉格朗日乘子通常是二进制变量的显式表达式。还要注意，通过对候选解的对偶可行性进行初步筛选测试，可以从进一步考虑中删除解1、3和4，因为它们违反了对非负拉格朗日乘子的要求接下来，案例研究2的最佳解决方案。835y1y2y3X1X2X6F0101.30097016208V.M. Charitopoulos等人/工程3（2017）202表3.修改案例研究2的最佳解决方案。在算法1之后，所有的二进制变量根据可能的组合。如表5所示，有三个二元变量，导致该过程的七种可能的组合。通过将二进制变量固定为表5所示的组合来评估每个解决方案。这个步骤可以在Mathematica 10中使用内置命令在检查表6时，发现Mathematica 10计算的绝大多数候选解都是不可行的，因为只剩下四个候选解的整数组合y1y2y3X1X2X6F0101.7601.2185.58V.M. Charitopoulos等人/工程3（2017）202209表4案例研究1的算法1的步骤3之后计算的候选解决方案的示例溶液一个2一个3B1B2B3Cμ1μ2μ3λ1λ2λ3λ4λ5λ7λ8λ91001.11y100y165.87.773.2200000-4.2-5.1622.332.86–2.82 +1.201.62y165.87.773.220000000302.86–1.6201.62y165.87.773.2200000-4.2042.330–1.201.200y165.87.773.22000000-5.16表5案例研究1的二进制变量的可能组合。表6案例研究1的最终整数可行解。组合y1y2y3溶液y1y2y3CB1B2B3一个2一个3F1100100000000002110210011.1100000.28311131011001.1101.52-1.9240114110101.1102.040-1.72500151011001.1101.52-1.926010600000000007101701000000018110101.1102.040-1.72与目标函数的范围值。重要的是要注意90000000000即使一个解决方案是可行的，它可能不是一个可行的配置-100010000001.5是的。这是因为为了使该过程有效，110100000001它必须能够生产所需的产品。这一事实可以看到，当看到解决方案12，其中有整数解-120110000002.5y1= 0，y2= 1，y3= 1;没有流速，尽管Y1是用于产生最终产品的单元，在这种情况下它不起作用。表6显示，全局最小值为-1.92。当[y1，y2，y3] = [1，0，1]时，此值出现;它是从两个不同的对称候选解导出的。 正如预期的那样，由所提出的算法计算的解与Floudas [1]在书中报告的解相同，从而验证了该解。最后，为了评估LICQ，重要的是要确定原始模型中的哪些约束在最佳点是有效在行动中-KKT条件由以下等式给出长5米长1米长6米长2米长8米长3米长10x1米长7x6米长18英寸长x2米长1英寸长19.2英寸长1英寸长x2米长1英寸长2019年10月1日上午时30分0.8lnx2月1日上午0.96x1月x月1日上午0.8x6日上午电话：-21 -2222222传真：+86-21-1.2xx21xUy1000x1000dL1019.2粤I C P 备 16019996号-1 1.2米50（73）（74）在最小点，B2和A2的流速为零，这意味着方程dx2 4 61件x件x件1件x件x件1件x件x件(25（29）不考虑。因此，考虑的限制因素1 1 2 1 2 1 2dL19.218LICQ是Eqs。（26非线性方程，Eq。（26）必须dx2 3 4 71件x件x件100万美元在最佳点线性化。使用泰勒近似在最佳点处产生：2 1 2 20.96 181.2米1 0（75）11 xxx5 1 xx11.2A1.2A*1 2 2 1 2 2B 1.2 A 0（71）3A*1A*3dL70.8 03 3其中 * 指线性化点处的变量值dx61 5 8（76）是的。然后公式化方程组的矩阵1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000年12月日（77）（78）电话：+86-021 - 8888888传真：+86-021 -8888888 澳门新葡1000万0.90 B0年12月日（79） ·1（72）1 0 000 0 10 B3 A002014年月日星期一（80）  3   年月日，2015年12月26（81）现在可以通过计算方阵的行列式来确定系统是否符合LICQ。当206x1200、207x2200、208x6200（82-84）如果一个矩阵的行列式为零，系统中的方程相互依赖，这表明可能存在多个解。然而，如果行列式不为零，则直线是独立的，并且只在一个解处相交一次。在这个例子中，行列式是0.429。这意味着系统是线性无关的，并且最优解已经确定。4.1.2. 案例研究2210V.M. Charitopoulos等人/工程3（2017）202对于第二个案例研究，拉格朗日函数和一阶然后使用Mathematica 10来求解方程：(74-84），其中二进制变量被认为是参数。输出生成了总共59个候选解;然而，与案例研究1类似，其中17个由于违反了对偶可行性条件而被从进一步考虑中删除表7给出了Mathematica 10生成的输出示例。与 案例 研 究 1 一 样， 该 案例 研 究有 三 个二 进 制变 量 ; 因 此，Mathematica 10的输出受到二进制变量的相同变化的影响，如表5所示。表8给出了最终的整数V.M. Charitopoulos等人/工程3（2017）20221189220.92可行的解决方案。在检查表8时，可以看到全局最小值为5.58，当[y1，y2，y3] = [0，1，0]时具有整数向量。根据SBB/CONOPT 3计算相同的解，如表3所示。这一结果加强了该算法的MINLP问题的适用性最后，表9给出了建议dL 1.8 1  0 dA21 A2dL 1.81.22 0 dA3 1A3dL 1 0.90（86）（87）（88）算法与商业求解器DICOPT，SBB，BARON 16.3，dB21 3 2 6安提哥1.1从表9中可以看出，所提出的算法是out-dL1.2 0.90（89）由其余求解器对确定性实例执行，DICOPT是收敛最快的求解器。然而，请注意，对于非确定性的情况下，一系列的MINLP问题将不得不被解决，以获得相应的p-MINLP的解决方案。相比之下，当遵循所提出的方法时，计算时间保持与确定性情况相同。dB32 3 3 7dL110dC3 1 41B1y0 B1y 0（90）（91）（92）（93）330.934.2. 基于参数规划的不确定MINLP问题4.2.1. 案例研究1本例中要研究的不确定变量为B1和C。这是由于B1是进入系统的新鲜进料的流速，其随后将转化为所需产品，而C是系统的产品，其具有由于消费者需求而变化的可能性。 4CBA0B1.2 A 0C0.9B1BB0(94-98）（九十九）（100）（101）4.2.1.1.B1作为不确定变量为了研究B1对过程的影响，使用Mathematica 10求解以下一阶KKT条件，其中将二进制变量和B1视为参数。L11CB1B21.2B31.8A 1.8A33.5y1y 1.5y31B2ln1A2 2 B31.2 ln1A3 上面所示的一阶KKT条件已经从方程中导出的公式改变。(53–70),which was used由于B1被认为是一个参数，因此原始模型的非负约束和B1这将导致一个输出，包括显式的解决方案，在二进制变量和B1方面。解决系统等式(86–101) results in 39 candidate sets of explicit solutions;C 0.9BBBCyB1y（85）其中有13个违反了双重可行性条件，因此，3 1 2 3 1 12 20.92从进一步的考虑中删除日本语简体中文 yCBBAAC从该过程的最大和最佳出口流速为1，330.9346 27 38 29 3如在Eq.（28）表1。假设 表7在案例研究2的算法1的步骤3之后计算的候选解决方案的示例溶液X1X2X6λ1λ2λ3λ4λ5λ6λ7λ8100000000-9.21.2–720-0.0326000000-8.60–730000-1.2000–80–742年1次2年1次00-9.2（40000–750.92+ 2y12年1次000（40000–7表8案例研究2的最终整数可行解。溶液y1y2y3X1X2X6F10101.7601.225.5820111.7601.2213.5831011.51.50.9215.09400000010500100018600100018表9计算比较所提出的算法的性能的解决方案的确定性实例的案例研究2。该算法DICOPTSBB男爵16.3Antigone 1.1CPU（s）60.1720.2341.212迭代次数0334757212V.M. Charitopoulos等人/工程3（2017）202从B到C的反应为1： 1，B1的流速从0到1变化，以检查其对该过程的影响。分析的第一步是评估每个解决方案的可行性。这是使用Excel通过将B1的流速从0改变到1并通过改变如表5所示的二进制变量的配置来实现的。这样做是为了确保流速和拉格朗日乘数4.2.1.2.C作为不确定变量接下来，我们研究C对该过程的影响算法2表10对于案例研究1，当B1不确定时的最优显式结果的不等式约束是正的。然后必须检查表9中所示的每个解的目标函数，因为B1是变化的。表10提供了每个解决方案的目标函数，由Mathematica 10导出。然后，通过相应的整数组合，在表11所示的可行配置下评估表10所示的函数，同时操纵B1以检查其对最优解的影响。表12提供了结果。对表12的检查清楚地表明，溶液123表11fy1，y2，y3，B5. 8B3.6. 8 ex p0.833B0.926y0.926y2年。8 ex 1.11y2. 1 67y0.77y1.5y33.5y3.6. 9B1. 8 ex 1.1 1y2。8 ex 0.926y3电话：+86-021 传真：+86-021  6B3.6. 8 ex pB1.1 1y1.1 1y3 01-2900：00：00 00：00CR0B10.153760.15376B0.96750.9675B1 1在解1中，当B1等于0时，目标函数的最小值为该结果产生了与文献中所见相同的最优解（表1）。然而，更重要的是，随着B1的流量增加，具有目标函数的最低值的配置改变。这一结果有力地表明，改变变量可以对工厂内的最佳工艺路线产生重大影响。同样的结果可以在图中更清楚地看到。 3，它显示了最佳配置如何随着B 1的流量增加而变化。为了验证系统的最优配置随不确定性参数的变化而变化，以B1为变参数，再次求解表13提供了相应的结果。表12强调，过程可以基于不确定的参数而改变。这两种技术-即使用Mathematica 10的技术和Excel中的筛选过程以及MINLP问题的数值解-生成了相同的输出。这一结果重申了用于过程综合的算法的有效性它证实了B1的最佳流量为0的假设，配置为y1= 1，y2= 0，y3=1。它还表明，B1的流速的增加导致该过程变得不那么有利可图。反过来，这一结果意味着，如果需要从市场上购买B1，这一过程最终将亏本经营，在财政上将不可行。当B1是案例研究1中的不确定参数时的二元组合。溶液y1y2y3110121003110表12案例研究1中，在不同的B1值下，每个整数可行解的目标值B1目标函数在解配置的值解决方案1 [1，0，1]解决方案2 [1，0，0]解决方案3 [1，1，0]0-1.923.500-1.7210.1-1.7063.210-1.6410.2-1.4612.920-1.5120.3-1.1882.630-1.3380.4-0.8912.340-1.1240.5-0.5712.050-0.8720.6-0.2311.760-0.5880.70.1291.470-0.2740.80.5061.1800.0680.90.9000.8900.4341.01.3080.6000.823图3.第三章。不确定性参数B1的变异范围的显式最优目标函数。V.M. Charitopoulos等人/工程3（2017）202213表13B1值的变化对案例研究1的最优解的影响B1y1y2y3CB2B3一个2一个3F01011.0000.0001.1110.0001.524-1.9230.11011.0000.0001.0110.0001.322-1.7060.21101.0000.9110.0001.4870.000-1.5120.31101.0000.8110.0001.2500.000-1.3380.41101.0000.7110.0001.0360.000-1.1240.51101.0000.6110.0000.8420.000-0.8720.61101.0000.5110.0000.6670.000-0.5880.71101.0000.4110.0000.5080.000-0.2740.81101.0000.3110.0000.3650.0000.0680.91101.0000.2110.0000.2350.0000.4341.01000.9000.0000.0000.0000.0000.600再次采用，并使用Mathematica 10制定和求解求解p-KKT表14案例研究1中C不确定时的最优显式结果产生32个候选解，其中在预处理期间移除11个解;因此，为后续算法步骤考虑21个候选解。由于Eq. (28)，C的最大可能流速为1。因此，为了检查C如何影响过程，该变量将从0变化到1。当C变化时，必须检查表13中所示的每个解的目标函数。如表14所示，这可以通过检查由Mathematica 10为每个解导出的目标函数的二进制变量和不确定变量的函数来实现。溶液123表15fy1，y2，y3，C5. 8B3.6. 8 ex p0.833B0.926y0.926y2年。8 ex 1.11y2. 1 67y0.77y1.5y33.6美元2. 9B1. 8 ex 1.1 1y2。8 ex 0.926y3电话：+86-021 传真：+86-021  6B3.6. 8 ex pB1.1 1y1.1 1y3 01-2900：00：00 00：00CR2019 04 - 270.227 0.8616 1然后可以使用表15中所示的二进制组合来评估表14中所示的函数，同时操纵C;目标函数的值在表16中报告。对表16的检查清楚地表明，当C等于1时，目标函数的最低值解y= 1，y= 0，y= 1。这种二元组合产生了当C是案例研究1中的不确定参数时的二元组合溶液y1y2y31101210031101 2 3与文献中报道的最佳解决方案相同，如表1所示。这一结果加强了解决方案时，得到的过程