根轨迹法详解：分析系统稳定性和闭环极点绘制

本篇文章主要讨论了根轨迹法在系统稳定性和分析中的应用，这是一种经典控制理论的重要工具。根轨迹法的核心思想是通过分析系统开环传递函数随增益变化时，闭环特征方程根在复平面上的轨迹，来评估系统的动态性能，特别是闭环极点位置及其稳定性。 首先，文章强调了根轨迹法的优势，它克服了传统方法中求解闭环极点时参数变化带来的复杂性，只需通过分析开环特性即可预测系统响应。根轨迹分析分为两种类型：常义根轨迹，其参数为放大系数k；广义根轨迹，涉及除k外的其他参数。 4.1节详细介绍了根轨迹的定义，区分了主要根轨迹（当参数从0变到∞时的轨迹）和辅助根轨迹（反之）。根轨迹方程揭示了开环传递函数中某一参数变化时，闭环特征方程根随参数变化的规律。通过举例说明，比如一个单位负反馈系统的开环传递函数，我们能够看到随着增益K的变化，闭环特征根S1和S2在复平面上的移动轨迹。 文章接着介绍了绘制根轨迹的基本法则，这包括如何根据系统的开环零点和极点分布，利用图解方法来描绘出系统的根轨迹。对于典型的反馈系统，如例1所示的系统，通过系统方框图，可以计算出闭环特征方程的特征根，并观察根轨迹随着增益K的不同值而变化的情况。 此外，文中还提到了当特征根为负实根、开环极点以及特征根的实部和虚部分别为零或非零时，根轨迹的具体表现。通过对这些情况的讨论，读者可以更好地理解根轨迹如何反映系统性能的稳定性，如超调量和过渡过程时间。 总结来说，本文深入探讨了根轨迹法在控制系统分析中的应用，通过绘制根轨迹，可以帮助工程师直观地分析系统在不同增益下的稳定性，从而做出更有效的设计决策。