July分享：15个经典算法研究与实践详解

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"《15个经典算法研究与总结》是由算法爱好者July在2010年12月至2011年12月期间创作的一系列深入研究的IT技术著作。这个系列涵盖了十五个重要的基础算法，包括但不限于A*搜索、Dijkstra最短路径算法、动态规划、广度优先搜索(BFS)和深度优先搜索(DFS)，还有红黑树、KMP算法、遗传算法、启发式搜索、图像特征提取SIFT以及傅立叶变换等。作者在文中不仅阐述了这些算法的基本原理，还提供了详细的编程实现和实际应用案例，确保读者能够深入理解和掌握。在该系列中，Dijkstra算法被多次探讨，从初探到深入理解，再到结合不同数据结构（如Fibonacci堆和Heap）的C语言实现，内容详尽且层次分明。红黑树更是特别关注，作为国内最具影响力的教程之一，作者撰写了六篇文章进行详述。此外，KMP算法也有专门的系列，包括基本介绍、演变到BM算法的讲解，以及总结篇，确保读者对这个字符串匹配算法有全面的认识。遗传算法则揭示了其核心原理，启发式搜索算法也得到了深入讨论，以及图像处理中的SIFT算法和傅立叶变换等高级技术。作者鼓励读者在阅读过程中提出疑问和反馈，可通过博客评论或邮件与作者交流，以便持续改进和分享知识。整个系列共31篇文章，构成一个详细的目录和索引，是学习和研究IT基础知识的宝贵资源。通过这个系列，读者不仅能提升算法技能，还能锻炼解决问题的能力和编程实践水平。"

1. A* (使用曼哈顿距离)

2. A*(采用欧氏距离)

A*搜寻算法的高效之处

如上，是不是对 A*、Dijkstra、双向 BFS 算法各自的性能有了个总体大概的印象列?由

上述演示，我们可以看出，在最短路径搜寻效率上，一般有 A*>Dijkstra、双向 BFS，其中

Dijkstra、双向 BFS 到底哪个算法更优，还得看具体情况。

由上，我们也可以看出，A*搜寻算法的确是一种比较高效的寻路算法。

A*算法最为核心的过程，就在每次选择下一个当前搜索点时，是从所有已探知的但未

搜索过点中(可能是不同层，亦可不在同一条支路上)，选取 f 值最小的结点进行展开。

而所有“已探知的但未搜索过点”可以通过一个按 f 值升序的队列(即优先队列)进行排

列。

这样，在整体的搜索过程中，只要按照类似广度优先的算法框架，从优先队列中弹出队

首元素（f 值），对其可能子结点计算 g、h 和 f 值，直到优先队列为空(无解)或找到终止点

为止。

A*算法与广度、深度优先和 Dijkstra 算法的联系就在于：当 g(n)=0 时，该算法类似于

DFS，当 h(n)=0 时，该算法类似于 BFS。且同时，如果 h(n)为 0，只需求出 g(n)，即求出起

点到任意顶点 n 的最短路径，则转化为单源最短路径问题，即 Dijkstra 算法。这一点，可以

通过上面的 A*搜索树的具体过程中将 h(n)设为 0 或将 g(n)设为 0 而得到。

BFS、DFS 与 A*搜寻算法的比较

参考了算法驿站上的部分内容：

不管以下论述哪一种搜索，都统一用这样的形式表示：搜索的对象是一个图，它面向一

个问题，不一定有明确的存储形式，但它里面的一个结点都有可能是一个解（可行解），搜

索的目的有两个方面，或者求可行解，或者从可行解集中求最优解。

我们用两张表来进行搜索，一个叫 OPEN 表，表示那些已经展开但还没有访问的结点

集，另一个叫 CLOSE 表，表示那些已经访问的结点集。

蛮力搜索（BFS，DFS）

BFS（Breadth-First-Search 宽度优先搜索）

首先将起始结点放入 OPEN 表，CLOSE 表置空，算法开始时：

1、如果 OPEN 表不为空，从表中开始取一个结点 S，如果为空算法失败

2、S 是目标解吗？是，找到一个解（继续寻找，或终止算法）；不是到 3

3、将 S 的所有后继结点展开，就是从 S 可以直接关联的结点（子结点），如果不在 CLOSE

表中，就将它们放入 OPEN 表末尾，而把 S 放入 CLOSE 表，重复算法到 1。

DFS（Depth-First-Search 深度优先搜索）

首先将起始结点放入 OPEN 表，CLOSE 表置空，算法开始时：

1、如果 OPEN 表不为空，从表中开始取一个结点 S，如果为空算法失败

2、S 是目标解吗？是，找到一个解（继续寻找，或终止算法）；不是到 3

3、将 S 的所有后继结点展开，就是从 S 可以直接关联的结点（子结点），如果不在 CLOSE

表中，就将它们放入 OPEN 表开始，而把 S 放入 CLOSE 表，重复算法到 1。

是否有看出：上述的 BFS 和 DFS 有什么不同？

仔细观察 OPEN 表中待访问的结点的组织形式，BFS 是从表头取结点，从表尾添加结

点，也就是说 OPEN 表是一个队列，是的，BFS 首先让你想到‘队列’；而 DFS，它是从

OPEN 表头取结点，也从表头添加结点，也就是说 OPEN 表是一个栈！

DFS 用到了栈，所以有一个很好的实现方法，那就是递归，系统栈是计算机程序中极

重要的部分之一。用递归也有个好处就是，在系统栈中只需要存结点最大深度那么大的空间，

也就是在展开一个结点的后续结点时可以不用一次全部展开，用一些环境变量记录当前的状

态，在递归调用结束后继续展开。

利用系统栈实现的 DFS

函数 dfs(结点 s)

{

s 超过最大深度了吗？是：相应处理，返回；

s 是目标结点吗？是：相应处理；否则：

{

s 放入 CLOSE 表；

for(c=s.第一个子结点；c 不为空；c=c.下一个子结点() )

if(c 不在 CLOSE 表中)

dfs(c)；递归

}

如果指定最大搜索深度为 n，那系统栈最多使用 n 个单位，它相当于有状态指示的 OPEN

表，状态就是 c，在栈里存了前面搜索时的中间变量 c，在后面的递归结束后，c 继续后移。

在象棋等棋类程序中，就是用这样的 DFS 的基本模式搜索棋局局面树的，因为如果用 OPEN

表，有可能还没完成搜索 OPEN 表就暴满了，这是难于控制的情况。

我们说 DFS 和 BFS 都是蛮力搜索，因为它们在搜索到一个结点时，在展开它的后续结

点时，是对它们没有任何‘认识’的，它认为它的孩子们都是一样的‘优秀’，但事实并非

如此，后续结点是有好有坏的。好，就是说它离目标结点‘近’，如果优先处理它，就会更

快的找到目标结点，从而整体上提高搜索性能。

启发式搜索

为了改善上面的算法，我们需要对展开后续结点时对子结点有所了解，这里需要一个估

值函数，估值函数就是评价函数，它用来评价子结点的好坏，因为准确评价是不可能的，所

以称为估值。打个比方，估值函数就像一台显微镜，一双‘慧眼’，它能分辨出看上去一样

的孩子们的手，哪个很脏，有细菌，哪个没有，很干净，然后对那些干净的孩子进行奖励。

这里相当于是需要‘排序’，排序是要有代价的，而花时间做这样的工作会不会对整体搜索

效率有所帮助呢，这完全取决于估值函数。

排序，怎么排？用哪一个？快排吧，qsort！不一定，要看要排多少结点，如果很少，简

单排序法就很 OK 了。看具体情况了。

排序可能是对 OPEN 表整体进行排序，也可以是对后续展开的子结点排序，排序的目

的就是要使程序有启发性，更快的搜出目标解。

如果估值函数只考虑结点的某种性能上的价值，而不考虑深度，比较有名的就是有序搜

索（Ordered-Search），它着重看好能否找出解，而不看解离起始结点的距离（深度）。

如果估值函数考虑了深度，或者是带权距离（从起始结点到目标结点的距离加权和），

那就是 A*，举个问题例子，八数码问题，如果不考虑深度，就是说不要求最少步数，移动

一步就相当于向后多展开一层结点，深度多算一层，如果要求最少步数，那就需要用 A*。

简单的来说 A*就是将估值函数分成两个部分，一个部分是路径价值，另一个部分是一

般性启发价值，合在一起算估整个结点的价值。

从 A*的角度看前面的搜索方法，如果路径价值为 0 就是有序搜索，如果路径价值就用

所在结点到起始结点的距离（深度）表示，而启发值为 0，那就是 BFS 或者 DFS，它们两

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