(2)每个输入信号样本矢量 x(n)与全部过去的期望信号 d(k), k=0,1,…,n-1 也是统计独
立的,不相关的,即有 E[x(n)d(k)]=0, k=0,1,…,n-1
(3)期望信号样本矢量 d(n)依赖于输入过程样本矢量 x(n),但全部过去的期望信号样本是
统计独立的。
(4)滤波器抽头输入信号矢量 x(n)与期望信号 d(n)包含着全部 n 的共同的高斯分布随机
变量。
由式(2.10)可知,自适应滤波器在 n+1 时刻的滤波系数矢量 (n+1)依赖于三个输入:输
入过程的过去样本矢量 x(k),k=n,n-1,…,0;期望信号的以前样本值 d(k), k=n,n-1,…,0;
滤波系数矢量的起始值 (0).
现将系数误差矢量 得到
(n+1)= [I- x(n)xT(n)] [ +w0]+ x(n)d(n)
=[I- x(n)xT(n)] +w0+ [x(n)d(n)- x(n)xT(n) w0]
式中,w0 是最佳滤波系数矢量, 是误差矢量。如将 w0 移至灯饰左边,则 (n+1)- w0 等
于系数误差矢量的更新值,于是上式可写成
=[I- x(n)xT(n)] + [ x(n)d(n)- x(n)xT(n) w0] (2.11)
对上式两边取数学期望,得到
E[ ]=(I- R)E[ ]+ (P-R w0) (2.12)
由此得到,要使 LMS 算法收敛于均值,必须使步长参数 满足下列条件:
0< <2/ (2.13)
这里 是相关矩阵 R 的最大特征值。在此条件下,当迭代次数 n 接近于∞时,自适应滤波系
数矢量 w(n)近似等于最佳维纳解 w0。
2.2.2 平均 MSE—学习曲线
最陡下降法每次迭代都要精确计算梯度矢量,使自适应横向滤波器权矢量或滤波系数
矢量 w(n)能达到最佳维纳解 w0,这时滤波器均方误差(MSE)为最小,即
ξmin= -wTp (2.14)
式中, 是期望信号 d(n)的方差。
学习曲线定义为均方误差随迭代计算次数 n 的变化关系,如式(2.15)所描述的包含指数
项之和:
ξ(n)= ξmin + (2.15)
式中每个指数项对应的固有模式,模式的数目等于滤波加权数。其中 1- <1,故当 n→∞
时,则最陡下降法均方误差 ξ(∞)=ξmin.但 LMS 算法用瞬时值估计梯度存在误差的噪声估
计,结果使滤波权矢量估值 (n)只能近似于最佳维纳解.这意味着滤波均方误差 ξ(n)随着迭
代次数 n 的增加而出现小波动地减少,最后,ξ(∞)不是等于 ξmin 而是稍大于其值。见下
图:
图 3 学习曲线
如果步长参数 μ 选用得越小,则这种噪化指数衰减曲线上的波动幅度将越小,即学习曲线
的平滑度越好。
2.2.3 失调
在自适应滤波器中,失调 Θ 是衡量起滤波性能的一个技术指标,它被定义为总体平均
超量均方误差值 ξex(∞)与最小均方误差值 ξmin 之比,即
Θ=E[ξex(∞)]/ξmin (2.16)
或 Θ= /(2- ) (2.17)
通常µ值很小,因此,失调又可近似表示为