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首页分数阶新定义:自然与应用
本文档深入探讨了"分数阶新定义"这一主题,发表在《计算与应用数学杂志》(Journal of Computational and Applied Mathematics)第264期(2014年),由R.Khalila、M.Al Horania、A.Yousef和M.Sababheh四位作者共同撰写。这是一篇重要的研究文章,旨在提出一种新的分数阶导数和积分的定义,它被作者认为是最自然且富有成效的。 新定义的优势在于其普适性和兼容性。对于0≤α<1这个区间内的分数阶,新定义与经典定义在多项式上的表现一致,仅存在一个常数因子的差异,这使得它在处理这类函数时具有高度的精确性。尤其值得一提的是,当α等于1时,新定义与一阶导数的经典定义完全吻合,确保了在连续性上的连续过渡。 作者还强调了这个新定义的应用价值,这意味着它不仅适用于理论分析,还能在实际问题中找到广泛的应用领域,如信号处理、物理学中的非线性动力学、工程学中的控制系统设计等,其中分数阶导数和积分能够捕捉到传统导数难以表达的复杂动态行为。 此外,文章的接收日期为2013年5月28日,经过修订后的形式提交于同年10月31日,符合MSC分类(26A33)。关键词部分包括"分数阶导数"和"分数阶积分",突出了该研究的核心内容。 这篇论文不仅提供了分数阶数学的一个新颖且实用的定义,而且还展示了其在理论和实际应用中的潜力,是理解分数阶微积分理论的宝贵参考资料。对于那些在分数阶分析或数值方法等领域进行研究的专业人士而言,这篇文章无疑是一个值得关注和深入研究的重要资源。
资源详情
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Journal of Computational and Applied Mathematics 264 (2014) 65–70
Contents lists available at ScienceDirect
Journal of Computational and Applied
Mathematics
journal homepage: www.elsevier.com/locate/cam
A new definition of fractional derivative
R. Khalil
a,∗
, M. Al Horani
a
, A. Yousef
a
, M. Sababheh
b,c
a
Department of Mathematics, The University of Jordan, Al Jubaiha, Amman 11942, Jordan
b
Department of Basic Sciences, Princess Sumaya University For Technology, Al Jubaiha, Amman 11941, Jordan
c
Department of Mathematics, Sharjah University, Sharjah, United Arab Emirates
a r t i c l e i n f o
Article history:
Received 28 May 2013
Received in revised form 31 October 2013
MSC:
26A33
Keywords:
Fractional derivative
Fractional integral
a b s t r a c t
We give a new definition of fractional derivative and fractional integral. The form of the
definition shows that it is the most natural definition, and the most fruitful one. The
definition for 0 ≤ α < 1 coincides with the classical definitions on polynomials (up to
a constant). Further, if α = 1, the definition coincides with the classical definition of first
derivative. We give some applications to fractional differential equations.
© 2014 Elsevier B.V. All rights reserved.
1. Introduction
Fractional derivative is as old as calculus. L’Hospital in 1695 asked what does it mean
d
n
f
dx
n
if n =
1
2
. Since then, many
researchers tried to put a definition of a fractional derivative. Most of them used an integral form for the fractional derivative.
Two of which are the most popular ones.
(i) Riemann–Liouville definition. For α ∈ [n − 1, n), the α derivative of f is
D
α
a
(f )(t) =
1
Γ (n − α)
d
n
dt
n
t
a
f (x)
(t − x)
α−n+1
dx.
(ii) Caputo definition. For α ∈ [n − 1, n), the α derivative of f is
D
α
a
(f )(t) =
1
Γ (n − α)
t
a
f
(n)
(x)
(t − x)
α−n+1
dx.
Now, all definitions including (i) and (ii) above satisfy the property that the fractional derivative is linear. This is the only
property inherited from the first derivative by all of the definitions. However, the following are some of the setbacks of the
other definitions:
(i) The Riemann–Liouville derivative does not satisfy D
α
a
(1) = 0 (D
α
a
(1) = 0 for the Caputo derivative), if α is not a natural
number.
(ii) All fractional derivatives do not satisfy the known formula of the derivative of the product of two functions:
D
α
a
(fg) = fD
α
a
(g) + gD
α
a
(f ).
∗
Corresponding author.
E-mail addresses: roshdi@ju.edu.jo (R. Khalil), horani@ju.edu.jo (M. Al Horani), abd.yousef@ju.edu.jo (A. Yousef), sababheh@psut.edu.jo,
msababheh@sharjah.ac.ae (M. Sababheh).
0377-0427/$ – see front matter © 2014 Elsevier B.V. All rights reserved.
http://dx.doi.org/10.1016/j.cam.2014.01.002
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