层次分析法：构建判断矩阵与权重计算

本文主要讲解了层次分析法(AHP)中的权向量构造与判断矩阵的建立、一致性检验以及权重计算方法，特别是如何利用这种方法来解决选择旅游地的问题。 层次分析法(AHP)是一种结构化决策工具，它通过将复杂问题分解为多层次的子问题，然后比较各层次元素之间的相对重要性，最终确定整体的最优解决方案。在这个例子中，目标层是“选择旅游地”，准则层包括“景色”、“费用”等不同因素，而方案层则包含具体的旅游目的地。 首先，构建判断矩阵是AHP的关键步骤。在准则层，我们比较每个准则对目标的重要性，例如，我们可以认为“景色”比“费用”更重要，而“费用”可能比“居住条件”更重要。这些比较用1-9标度表示，其中1表示两个因素同等重要，9表示一个因素远比另一个重要。在这个例子中，我们得到了权向量w1(3)、w2(3)等，它们表示准则层对目标层的相对重要性。 接着，对于方案层，我们需要对每个方案在各个准则下的表现进行成对比较，例如，方案A在“景色”上的得分可能是方案B的1/3，在“费用”上可能是方案B的2倍。这会形成一系列的成对比较矩阵，每个矩阵对应一个准则。 一致性检验是确保判断矩阵的合理性的重要步骤。通过计算判断矩阵的最大特征根（λmax）和对应的权向量，我们可以检查一致性比率(CR)，只有当CR小于某个阈值（通常为0.1）时，判断矩阵才被认为具有一致性，其结果才能被接受。 计算权重系数有两种常见方法：和积法和方根法。和积法首先将判断矩阵的每一列元素归一化，然后将归一化的矩阵按行相加，最后对总和进行归一化得到权重向量。方根法则是先对判断矩阵的每行元素取几何平均，再取其开方，以得到权重。 在选择旅游地的例子中，通过对各个准则和方案进行比较，我们可以得到每个方案在各个准则下的权重，从而综合评估并选择最合适的旅游地。 总结来说，层次分析法通过构造判断矩阵、进行一致性检验和计算权重，为我们提供了一种系统化解决复杂决策问题的方法。在这个案例中，它被应用于旅游目的地的选择，考虑了多个影响因素，使得决策过程更加科学和理性。