无向图连通性分析：割点、桥与双连通子图计算

"本文主要介绍了如何计算无向图的双连通子图，重点讨论了割点、桥的概念以及它们在图的连通性分析中的作用。割点是指如果删除该节点会导致图不连通的节点，而桥则是指去除后会破坏图连通性的边。连通图的顶连通度和边连通度是衡量图连通程度的重要指标。此外，文章还提供了计算割点和桥的算法实现。" 在无向图的连通性分析中，割点和桥是两个关键概念。割点，也称为分离点，是指一个节点，如果从图中移除该节点，将导致原本连通的图变得不连通。例如，一个非根节点u是割点，当且仅当存在一个它的儿子节点s，使得s或s的后代无法通过反向边直接或间接到达u的祖先节点。另一方面，如果u被选为根节点，那么u是割点当且仅当它有多个儿子节点。判断割点的算法通常基于深度优先搜索（DFS），其中low函数的计算是关键，它记录了节点v及其所有后代能返回的最早祖先编号。如果low[v]大于等于pre[v]，则表明存在反向边，u不是割点；否则，u是割点。 桥是指无向图中的一种特殊边，如果移除这条边，将导致原本连通的图变成不连通的两个部分。桥不包含在任何简单回路中。在DFS遍历过程中，如果发现树枝边（u, v），并且v及其后代没有B边连接到u或u的祖先，那么（u, v）就是桥。这种方法基于低点(low)值的计算，即low[v]表示在遍历过程中，从v出发可以到达的所有节点的最小pre值，预序(pre)值则记录了节点的访问顺序。 为了实际计算图中的割点和桥，可以采用DFS进行遍历。在DFS过程中维护low和pre数组，并调用fund_cut_point函数来递归地计算low值。在主程序中，首先初始化pre数组，然后对图的每个节点进行DFS，计算low值。如果一个节点的子树中有多个节点，那么这个节点是割点；如果在DFS过程中发现满足桥的条件的边，那么这条边是桥。 计算双连通子图的过程涉及识别割点和桥，这些信息对于理解图的结构至关重要。通过割点和桥，我们可以有效地划分图的连通部分，构建双连通子图，这对于网络分析、图形理论和许多其他领域都有应用价值。