"真空中球面电通密度的通量计算及原子内电通量密度的证明"

本题要求计算球赤道平面上的电通量。题目给出了一个半径为a的球面，在球的两极点处分别设置点电荷q和-q，并要求计算球赤道平面上电通密度的通量。 首先，根据题目给出的条件，球赤道平面上的电通密度可以通过积分的方式进行计算。我们可以使用球坐标系进行计算。设球面上的一点的坐标为(r, θ, φ)，其中r表示点到球心的距离，θ表示与球心连线在球心处的方位角，φ表示与球心连线在球面上的纬度角。球坐标系中，对于圆球坐标系中，在球坐标系中，球心位于原点，形成直角坐标系的z轴与球心连线的角度为θ，在球面上的点到z轴的距离为r，球心到该点的距离为ρ。 假设我们在球赤道平面上选取一个面元，该面元位于距离球心r处，宽度dφ，长度rdθ。面元上的电通量可以表示为dΦ = E·dS = E·rdφ·rdθ。其中E表示电场强度，dS 表示面元的面积。要计算整个球赤道平面上的电通量，我们需要将面元上的电通量累加起来，即进行积分。 对于该题，由于球表面上的点电荷q和-q分别位于球的两极点，球赤道平面上的点电荷产生的电场强度在数量上是相等的。由于题目并未给出球的半径a具体的数值，所以我们无法直接计算出电场强度E的数值。但是，本题是符合球对称性的情况，根据静电学的基本原理，球对称分布的电荷产生的电场强度符合库仑定律，电场强度的大小与距离r的平方成反比。在本题中，球赤道平面上的任意一点到两极点的距离是一样的，所以球赤道平面上的电场强度也是均匀的。 当面元位于球赤道平面上时，面元上的电场强度的方向与面元的法向量方向垂直，并指向球内部。由于题目中未给出电场强度E的具体数值，所以在计算电通量的过程中我们并不需要知道电场强度E的具体数值，而只需要知道它的方向即可。因此，面元上的电通量可以简化为dΦ = E·dS = E·rdφ·rdθ。将面元上的电通量累加起来，就可以得到球赤道平面上的总电通量Φ。 我们将球赤道平面上的电通密度的通量用Φ表示。根据题目给出的条件，通过积分可以得到球赤道平面上的电通量的表达式为： Φ = ∬ E · dS = ∬ E · rdφ·rdθ 由于本题中电场强度E的方向是球心到球赤道平面上的点的方向，并且是均匀的，所以可以将电场强度E提到积分号外面，即： Φ = E ∬ rdφ·rdθ 对于积分∬ rdφ·rdθ，可以按照球坐标系的积分公式进行计算，即： ∬ rdφ·rdθ = ∫ θ=0 to 2π ∫ φ=0 to π/a r²sinθ·dφ·dθ 对于这个积分，首先对φ进行积分，得到： ∫ φ=0 to π ∫ θ=0 to 2π r²sinθ·dφ·dθ 由于φ的积分范围是0到π，所以 ∫ φ=0 to π dφ = π，所以上式变为： π·∫ θ=0 to 2π r²sinθ·dθ 然后对θ进行积分，得到： π·∫ θ=0 to 2π r²sinθ·dθ 由于sinθ是偶函数，且在θ=0到θ=π时，sinθ的值是一致的，所以该积分的结果为0。 因此，球赤道平面上的电通量Φ等于0。这意味着在这个情况下，球赤道平面上的电通密度的通量是不存在的。 综上所述，根据题目给出的条件和静电学的基本原理，可以得出结论：在球赤道平面上，由点电荷q和-q共同产生的电通密度的通量为0。