计算几何：核心运算与多边形处理详解

计算几何是一门研究在计算机图形学和数学中利用算法处理几何形状和空间关系的学科。它主要关注在二维或三维空间中对点、线、线段、多边形、圆等基本元素进行精确计算和操作。以下是对章节中提到的主要知识点的详细解析： 1. **点的基本运算**： - **两点间距离**：计算两个点在平面上的欧几里得距离。 - **判断重合**：检查两点是否具有相同的坐标，用于识别点的位置关系。 - **矢量叉乘**：用于计算两个向量在二维或三维空间中的垂直分量，常用于求解角度和判断线段的方向关系。 - **矢量点乘**：计算两个向量的内积，反映它们在相同方向上的长度和夹角。 - **点在线段上**：确定点是否位于特定线段内，通过比较点到线段两端点的距离。 - **点的旋转坐标**：提供一个点绕另一个点旋转后的新坐标，涉及旋转矩阵或向量操作。 - **求矢量夹角**：通过向量的模长和点乘计算两个向量之间的角度。 2. **线段及直线的基本运算**： - **点与线段的关系**：分析点与线段之间的位置关系，如点在线段延长线上还是外部。 - **垂足问题**：找到点到线段垂线的垂足，涉及向量的正交性质。 - **最近点**：确定点到线段的最短距离，用于碰撞检测和逼近算法。 - **距离计算**：包括点到直线和折线集的最短距离。 - **圆与多边形**：判断圆与多边形的相对位置，如是否相离、相切或相交。 - **矢量夹角余弦**：与点乘相关的计算，用于理解线段间的夹角。 - **线段夹角**：计算两条线段之间的相对角度。 - **线段相交**：检测线段之间的交点，包括端点重叠和内部相交情况。 - **直线相关属性**：求斜率、倾斜角，以及对称点和交点。 3. **多边形常用算法模块**： - **简单多边形判定**：确认多边形没有自相交的边。 - **凸凹性检查**：分析多边形内部的凹凸性，用于外观特征分析。 - **凸多边形判定**：确定多边形的边界不会形成内部凹陷。 - **多边形面积计算**：使用不同方法（如扫描线、向量叉乘等）求解面积。 - **顶点方向判断**：通过不同的方法确认多边形的顺时针或逆时针方向。 - **点在多边形内判定**：多种几何和射线法来确定点的位置。 - **其他多边形操作**：如凸包、切线、核的存在性等。 4. **圆的基本运算**： - **点在圆内判断**：基于距离公式检查点是否落在圆的内部。 - **圆的构造**：通过三个非共线点确定圆的方程。 5. **矩形基本运算**： - **四点坐标计算**：给定三个点坐标，推导出矩形第四点的坐标，涉及对称性和比例关系。 6. **算法描述**：总结了这些几何操作背后的原理和可能使用的算法，包括但不限于搜索、比较和优化策略。 7. **补充内容**： - **圆与圆的关系**：如相离、相切、相交等。 - **圆与矩形关系**：如圆在矩形内的判定，以及圆与矩形的交点计算。 - **点到平面距离**：涉及向量的投影和距离公式。 - **点与直线的相对位置**：判断点在直线同一侧的几何检验。 - **镜面反射线**：应用几何光学原理计算反射线。 - **包含关系**：判断几何形状之间的包含关系。 - **圆和直线的交互**：涉及切点、内切圆等概念。 - **其他辅助函数**：如旋转、旋转切线的计算和公式定义。 这些知识点构成了计算几何的基础框架，对于计算机图形学、游戏开发、CAD软件等领域至关重要，能够帮助开发者理解和处理复杂的几何形状和空间交互问题。