计算几何基础：凸包与多边形面积计算

"第三单元-计算几何基础" 计算几何是一门涉及几何形状处理和计算的数学分支，尤其在计算机科学中扮演着重要角色。在这个第三单元中，我们重点关注的是凸包(Convex Hull)的概念，它是计算几何中的一个基础概念。 凸包定义了一个几何对象中所有点的最小凸集合，也就是说，它包含了所有点，并且任何两点之间的连线都在这个集合内部。在计算几何中，求解凸包有多种算法，如格拉姆-施密特(Graham's Scan)、 Jarvis March 或者 Andrew's Monotone Chain 算法。这些算法用于找出一组点集的最小凸多边形，常用于图形学、机器学习、数据挖掘等领域。 在ACM程序设计竞赛中，计算几何的知识是非常重要的，因为它可以解决很多复杂的问题，例如判断线段相交、计算多边形面积和重心等。刘春英教授在杭州电子科技大学的课程中提到了这些问题，强调了计算几何基础的重要性。 对于线段相交的计算，传统方法可能包括解析几何中的公式来确定交点，但这种方法可能存在计算量大和精度损失的问题。在计算几何中，更有效的方法是利用向量的叉积来判断两条线段是否相交，这不仅可以简化计算，还能避免精度问题。 多边形面积的计算是计算几何中的另一个基本问题。对于简单多边形，可以将其分解为多个三角形，然后求和每个三角形的面积。对于三角形，除了解析几何中的海伦公式，还可以使用向量叉积来求面积，这种方法更高效且不容易引入计算误差。在给定的课程中，教授提到了一个基本策略，即以多边形的一个顶点作为扇形中心，将多边形剖分为多个三角形，然后累加这些三角形的面积来得到整个多边形的面积。 此外，多边形的重心（Centroid）也是一个关键概念，它是指多边形所有质心的平均位置。在计算多边形重心时，可以对每个顶点的坐标乘以其对应三角形的面积，然后求和并除以总的面积，以此得到重心坐标。 这个第三单元的课程涵盖了计算几何的基础知识，包括凸包、线段相交、多边形面积计算以及重心的求解。这些都是计算几何中的核心概念，理解和掌握这些内容对于解决实际问题至关重要。通过深入学习和实践，可以提高解决复杂几何问题的能力。