西北工业大学数值分析习题与解答

"西北工业大学数值分析习题集，包含与计算机科学相关的数值计算问题，涉及误差分析、有效数字、近似计算、序列稳定性、方程求解及矩阵运算等多个知识点。" 1. 绪论部分强调了误差分析的重要性，相对误差δ对于数值计算中的精度评估起到关键作用。例如，如果x的相对误差为2%，我们需要理解如何计算由此产生的lnx的误差。 2. 讨论了有效数字的概念，四舍五入得到的近似数通常以其最后一位的半个单位作为误差限。了解有效数字有助于我们评估计算结果的精确度。 3. 通过公式(3.3)求近似值的误差限，这涉及到数值分析中的误差传播法则，它帮助我们预测多个近似值相加、相乘或相除时误差的变化。 4. 习题5中提到的球体积计算，要求相对误差限为1%，这需要计算半径R的允许相对误差限，体现了误差限制在实际应用中的具体要求。 5. 递推公式Y_n的计算（如783≈27.982），讨论了近似值对结果的影响，特别是当使用有限精度的数字时，误差会如何累积。 6. 求解方程x^2 - 56x + 1 = 0的近似根，要求至少具有四位有效数字，这是数值方法中的一个典型问题，可能需要用到牛顿迭代法或其他数值解法。 7. 不定积分的近似计算，随着N的增大，如何保持计算精度，可能需要使用辛普森法则或梯形法则等数值积分方法。 8. 正方形面积测量的问题，要求误差不超过1cm²，提示我们在实际测量中应考虑测量工具的精度和误差控制策略。 9. 序列y_n的稳定性分析，展示了当序列依赖于前一值且存在测量误差时，如何评估和控制误差传播。 10. 证明序列S随时间t增长时，即使绝对误差增加，相对误差可以减小，这涉及到了误差分析中的比例概念。 11. 通过递推公式计算y_10的误差分析，以及计算过程的稳定性检查，这反映了数值序列的收敛性和计算方法的可靠性。 12. 函数f的计算，通过不同的等式进行比较，揭示了选择合适计算路径对于提高精度的重要性。 13. 对数函数的误差分析，比较不同公式计算ln(x)的误差，以及其对最终结果的影响。 14. 使用消元法解线性方程组，讨论在有限精度计算下的可靠性问题，提醒我们在实际操作中要考虑舍入误差。 这些习题覆盖了数值分析的基础概念和核心技巧，对于学习计算机科学中的数值计算方法具有很高的价值。通过解决这些问题，学生可以深化对误差分析、数值稳定性、近似算法和计算精度的理解。