有限元方法例题及解析.doc

一、 问题

用有限元方法求下面方程的数值解

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on

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二、 问题分析

第一步 利用 Green 公式，求出方程的变分形式

变分形式为：求，使得

则（*）的 Galerkin 逼近为：

，求，使得

（**）

以及，为初始条

件在中的逼近，设为在中的插值.

则，有，=，代人（**）即可得到

一常微分方程组.

第三步 进一步对时间进行离散，

得到全离散的逼近格式

对用差分格式.为此把等分为 n 个小

其中用作为牛顿迭代

的初值.

三、 计算流程

取作为方程的准确解，算得

初值函数：

右端函数：

+

.

取.

1 对 作 三 角 剖 分 ： 分 别

沿 x , y 方向对[0,1]区间作 N 等分并将 每个小正方形沿对角线分为两个三角形.

4 构造单元形状函数，计算雅可比矩阵并利用高斯求积公式计算单元刚度矩阵和单元列

阵.

L2 误差的阶数为 其中为时间步长，

为空间步长

这里取 N=25, 则元素总数 LEE = 2*N*N =1250, 节点总数 NG = (N+1)(N+1) = 676,

取 时间步长 TSTP = 0.01, 时间步数 TN = 100, 即在 t=1 时，算得结果为：

附 C 程序

#include "stdio.h"

#include "stdlib.h"

#include "math.h"

#define ND 3 //一个元素的节点个数

#define LEE 2*N*N //元素总数

{

double z;

z=100*x*y*(x-1)*(y-1);

return z;

}

double f(double x,double y,double t)//右端函数 f

{

double z;

z=100*x*y*(x-1)*(y-1)-200*(t+1)*y*(y-1)-200*(t+1)*x*(x-1)+10000*(t+1)*(t+1)*x*x*y*y*(x-

1)*(x-1)*(y-1)*(y-1);

}

void II(int **a) //节点的局部编码与总体编码

{

int i;

for(i=1;i<LEE+1;i++)

{ if(i%2==1)

{