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Fundamentals_of_Computational_Fluid_Dynamics
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更新于2023-03-03
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Fundamentals_of_Computational_Fluid_Dynamics
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Fundamentals of Computational Fluid
Dynamics
Harvard Lomax and Thomas H. Pulliam
NASA Ames Research Center
David W. Zingg
University of Toronto Institute for Aerospace Studies
August 26, 1999
Contents
1 INTRODUCTION 1
1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Problem Specication and Geometry Preparation . . . . . . . 2
1.2.2 Selection of Governing Equations and Boundary Conditions . 3
1.2.3 Selection of Gridding Strategy and Numerical Method . . . . 3
1.2.4 Assessment and Interpretation of Results . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 CONSERVATION LAWS AND THE MODEL EQUATIONS 7
2.1 Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 The Navier-Stokes and Euler Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 The Linear Convection Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.1 Dierential Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.2 Solution in Wave Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 The Diusion Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.1 Dierential Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.2 Solution in Wave Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Linear Hyp erb olic Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 FINITE-DIFFERENCE APPROXIMATIONS 21
3.1 Meshes and Finite-Dierence Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Space DerivativeApproximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Finite-Dierence Op erators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.1 Point Dierence Op erators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.2 Matrix Dierence Op erators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.3 Perio dic Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.4 Circulant Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
iii
3.4 Constructing Dierencing Schemes of Any Order . . . . . . . . . . . . 31
3.4.1 Taylor Tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4.2 Generalization of Dierence Formulas . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.3 Lagrange and Hermite Interp olation Polynomials . . . . . . . 35
3.4.4 Practical Application of Pade Formulas . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.5 Other Higher-Order Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5 Fourier Error Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5.1 Application to a Spatial Op erator . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.6 Dierence Op erators at Boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6.1 The Linear Convection Equation . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6.2 The Diusion Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.7 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 THE SEMI-DISCRETE APPROACH 51
4.1 Reduction of PDE's to ODE's . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.1 The Mo del ODE's . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.2 The Generic Matrix Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Exact Solutions of Linear ODE's . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.1 Eigensystems of Semi-Discrete Linear Forms . . . . . . . . . . 54
4.2.2 Single ODE's of First- and Second-Order . . . . . . . . . . . . 55
4.2.3 Coupled First-Order ODE's . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.4 General Solution of Coupled ODE's with Complete Eigensystems 59
4.3 Real Space and Eigenspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3.2 Eigenvalue Sp ectrums for Mo del ODE's . . . . . . . . . . . . . 62
4.3.3 Eigenvectors of the Mo del Equations . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3.4 Solutions of the Mo del ODE's . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4 The Representative Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5 FINITE-VOLUME METHODS 71
5.1 Basic Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2 Mo del Equations in Integral Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2.1 The Linear Convection Equation . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2.2 The Diusion Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3 One-Dimensional Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3.1 A Second-Order Approximation to the Convection Equation . 75
5.3.2 AFourth-Order Approximation to the Convection Equation . 77
5.3.3 A Second-Order Approximation to the Diusion Equation . . 78
5.4 ATwo-Dimensional Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6 TIME-MARCHING METHODS FOR ODE'S 85
6.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2 Converting Time-Marching Metho ds to OE's . . . . . . . . . . . . . 87
6.3 Solution of Linear OE's With Constant Co ecients . . . . . . . . . 88
6.3.1 First- and Second-Order Dierence Equations . . . . . . . . . 89
6.3.2 Sp ecial Cases of Coupled First-Order Equations . . . . . . . . 90
6.4 Solution of the Representative OE's . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.4.1 The Op erational Form and its Solution . . . . . . . . . . . . . 91
6.4.2 Examples of Solutions to Time-Marching OE's . . . . . . . . 92
6.5 The
;
Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.5.1 Establishing the Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.5.2 The Principal
-Ro ot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.5.3 Spurious
-Ro ots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.5.4 One-Ro ot Time-Marching Metho ds . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.6 Accuracy Measures of Time-Marching Metho ds . . . . . . . . . . . . 97
6.6.1 Lo cal and Global Error Measures . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.6.2 Lo cal Accuracy of the Transient Solution (
er
;
j
j
;er
!
) . . . . 98
6.6.3 Lo cal Accuracy of the Particular Solution (
er
) . . . . . . . . 99
6.6.4 Time Accuracy For Nonlinear Applications . . . . . . . . . . . 100
6.6.5 Global Accuracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.7 Linear Multistep Metho ds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.7.1 The General Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.7.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.7.3 Two-Step Linear Multistep Metho ds . . . . . . . . . . . . . . 105
6.8 Predictor-Corrector Metho ds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.9 Runge-Kutta Metho ds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.10 Implementation of Implicit Metho ds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.10.1 Application to Systems of Equations . . . . . . . . . . . . . . 110
6.10.2 Application to Nonlinear Equations . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.10.3 Lo cal Linearization for Scalar Equations . . . . . . . . . . . . 112
6.10.4 Lo cal Linearization for Coupled Sets of Nonlinear Equations . 115
6.11 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7 STABILITY OF LINEAR SYSTEMS 121
7.1 Dep endence on the Eigensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.2 Inherent Stabilityof ODE's . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.2.1 The Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.2.2 Complete Eigensystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
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