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卡尔曼滤波算法

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卡尔曼滤波简介及其算法实现代码

卡尔曼滤波算法实现代码（ C，C＋＋分别实现）

卡尔曼滤波器简介

近来发现有些问题很多人都很感兴趣。所以在这里希望能尽自己能力跟大家讨论一些力所

能及的算法。现在先讨论一下卡尔曼滤波器，如果时间和能力允许，我还希望能够写写其他的算

法，例如遗传算法，傅立叶变换，数字滤波，神经网络，图像处理等等。

所以也只能形象的描述。

因为这里不能写复杂的数学公式，

卡尔曼滤波器 – Kalman Filter

1 、

什么是卡尔曼滤波

器（What is the Kalman Filter?

）

在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，

泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！

卡尔曼全名 Rudolf Emil Kalman ，匈牙利数学家， 1930 年出生于匈牙利首都布达佩斯。 1953，

1954 年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。 1957 年于哥伦比亚大学获得博士学

位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和 1960 年发表的论文《 A New

Approach to Linear Filtering and Prediction Problems 》（线性滤波与预测问题的新方法）。

如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载：

http://www.cs.unc.edu/~welch/media/pdf/Kalman1960.pdf 。

简单来说，卡尔曼滤波器是一个“ optimal recursive data processing algorithm （最优化自

回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的

广泛应用已经超过 30 年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统

以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检

测等等。

2．卡尔曼滤波器的介绍

（Introduction to the Kalman Filter ）

为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参

考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的 5 条公式是其核心内容。结合现代的计

算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那 5 条公式。

在介绍他的 5 条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。

假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就

是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。假设你对你的

经验不是 100%的相信，可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（ White

Gaussian Noise ），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（ Gaussian

Distribution ）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比

实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。

好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测

值）和温度计的值（测量值）。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际

温度值。

假如我们要估算 k 时刻的是实际温度值。首先你要根据 k-1 时刻的温度值，来预测 k 时刻的温度。

因为你相信温度是恒定的，所以你会得到 k 时刻的温度预测值是跟 k-1 时刻一样的，假设是 23

度，同时该值的高斯噪声的偏差是 5 度（ 5 是这样得到的：如果 k-1 时刻估算出的最优温度值的

偏差是 3，你对自己预测的不确定度是 4 度，他们平方相加再开方，就是 5）。然后，你从温度

计那里得到了 k 时刻的温度值，假设是 25 度，同时该值的偏差是 4 度。

由于我们用于估算 k 时刻的实际温度有两个温度值，分别是 23 度和 25 度。究竟实际温度是多少

呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的 covariance 来判断。

因为 Kg^2=5^2/(5^2+4^2) ，所以 Kg=0.78 ，我们可以估算出 k 时刻的实际温度值是： 23+0.78*

(25-23)=24.56 度。可以看出，因为温度计的 covariance 比较小（比较相信温度计），所以估

算出的最优温度值偏向温度计的值。

现在我们已经得到 k 时刻的最优温度值了，下一步就是要进入 k+1 时刻，进行新的最优估算。到

现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。对了，在进入 k+1 时刻之前，我们还要算出 k

时刻那个最优值（ 24.56 度）的偏差。算法如下： ((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35 。这里的 5 就是上面

的 k 时刻你预测的那个 23 度温度值的偏差，得出的 2.35 就是进入 k+1 时刻以后 k 时刻估算出的

最优温度值的偏差（对应于上面的 3）。

就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把 covariance 递归，从而估算出最优的温度值。他运行的很

快，而且它只保留了上一时刻的 covariance 。上面的 Kg，就是卡尔曼增益（ Kalman Gain ）。他

可以随不同的时刻而改变他自己的值，是不是很神奇！

下面就要言归正传，讨论真正工程系统上的卡尔曼。

3．卡尔曼滤波器算法

（The Kalman Filter Algorithm ）

在这一部分，我们就来描述源于 Dr Kalman 的卡尔曼滤波器。下面的描述，会涉及一些基本的

概念知识，包括概率（Probability ），随即变量（Random Variable ），高斯或正态分配（ Gaussian

Distribution ）还有 State-space Model 等等。但对于卡尔曼滤波器的详细证明，这里不能一一

描述。

首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程（ Linear

Stochastic Difference equation ）来描述：

X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)

再加上系统的测量值：

Z(k)=H X(k)+V(k)

上两式子中， X(k) 是 k 时刻的系统状态， U(k) 是 k 时刻对系统的控制量。 A 和 B 是系统参数，对

于多模型系统，他们为矩阵。 Z(k) 是 k 时刻的测量值， H 是测量系统的参数，对于多测量系统，

H为矩阵。 W(k) 和 V(k) 分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声 (White Gaussian

Noise) ，他们的 covariance 分别是 Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。

对于满足上面的条件 ( 线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声 ) ，卡尔曼滤波器是最优的

信息处理器。下面我们来用他们结合他们的 covariances 来估算系统的最优化输出（类似上一

节那个温度的例子）。

首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是 k，根据系统

的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：

X(k|k-1)=A X(k-1|k- 1)+B U(k) ……… .. (1)

式(1) 中， X(k|k-1) 是利用上一状态预测的结果， X(k-1|k-1) 是上一状态最优的结果， U(k) 为现

在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为 0。

到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于 X(k|k-1) 的 covariance 还没更新。我

们用 P 表示 covariance ：

P(k|k-1)=A P(k-1|k- 1) A ’+Q ……… (2)

式 (2) 中， P(k|k-1) 是 X(k|k-1) 对应的 covariance ，P(k-1|k-1) 是 X(k-1|k-1) 对应的

covariance ，A’表示 A 的转置矩阵， Q 是系统过程的 covariance 。式子 1，2 就是卡尔曼滤波器

5 个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。

现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值，

我们可以得到现在状态 (k) 的最优化估算值 X(k|k) ：

X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k- 1)) ……… (3)

其中 Kg 为卡尔曼增益 (Kalman Gain) ：

Kg(k)= P(k|k- 1) H ’ / (H P(k|k - 1) H ’ + R) ……… (4)

到现在为止，我们已经得到了 k 状态下最优的估算值 X(k|k) 。但是为了要另卡尔曼滤波器不断

的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新 k 状态下 X(k|k) 的 covariance ：

P(k|k)= （I-Kg(k) H ）P(k|k- 1) ……… (5)

其中 I 为 1 的矩阵，对于单模型单测量， I=1 。当系统进入 k+1 状态时， P(k|k) 就是式子 (2) 的

P(k-1|k-1) 。这样，算法就可以自回归的运算下去。

卡尔曼滤波器的原理基本描述了，式子 1，2，3，4 和 5 就是他的 5 个基本公式。根据这 5 个公

式，可以很容易的实现计算机的程序。

下面，我会用程序举一个实际运行的例子。。。

4．简单例子

（A Simple Example ）

这里我们结合第二第三节，举一个非常简单的例子来说明卡尔曼滤波器的工作过程。所举的例子

是进一步描述第二节的例子，而且还会配以程序模拟结果。

根据第二节的描述，把房间看成一个系统，然后对这个系统建模。当然，我们见的模型不需要非

常地精确。我们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度相同的，所以 A=1。没有控制量，

所以 U(k)=0 。因此得出：

X(k|k-1)=X(k-1|k- 1) ……… .. (6)

式子（ 2）可以改成：

P(k|k-1)=P(k-1|k- 1) +Q ……… (7)

因为测量的值是温度计的，跟温度直接对应，所以 H=1。式子 3，4，5 可以改成以下：

X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k- 1)) ……… (8)

Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k- 1) + R) ……… (9)

P(k|k)= （1-Kg(k) ）P(k|k- 1) ……… (10)

现在我们模拟一组测量值作为输入。假设房间的真实温度为 25 度，我模拟了 200 个测量值，这

些测量值的平均值为 25 度，但是加入了标准偏差为几度的高斯白噪声（在图中为蓝线）。

为了令卡尔曼滤波器开始工作，我们需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值，是 X(0|0) 和 P(0|0) 。

他们的值不用太在意，随便给一个就可以了，因为随着卡尔曼的工作， X 会逐渐的收敛。但是对

于 P，一般不要取 0，因为这样可能会令卡尔曼完全相信你给定的 X(0|0) 是系统最优的，从而使

算法不能收敛。我选了 X(0|0)=1 度， P(0|0)=10 。

该系统的真实温度为 25 度，图中用黑线表示。图中红线是卡尔曼滤波器输出的最优化结果（该

结果在算法中设置了 Q=1e-6，R=1e-1）。

最佳线性滤波理论起源于 40 年代美国科学家 Wiener 和前苏联科学家Ｋ олмогоров等人的研

究工作，后人统称为维纳滤波理论。从理论上说，维纳滤波的最大缺点是必须用到无限过去的数

据，不适用于实时处理。为了克服这一缺点， 60 年代 Kalman 把状态空间模型引入滤波理论，

并导出了一套递推估计算法，后人称之为卡尔曼滤波理论。卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计

的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法，其基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利

用前一时刻地估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现时刻的估计值。它适合

于实时处理和计算机运算。

现设线性时变系统的离散状态防城和观测方程为：

X(k) = F(k,k- 1) ·X(k-1)+T(k,k- 1) ·U(k-1)

Y(k) = H(k) ·X(k)+N(k)

其中

X(k) 和 Y(k) 分别是 k 时刻的状态矢量和观测矢量

F(k,k-1) 为状态转移矩阵

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大花生

2020-10-12

主要和理论有关，跟STM32以及ADS1292无任何关系

Chark向

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