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c语言经典算法

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二、算法设计的方法

1.递推法

递推法是利用问题本身所具有的一种递推关系求问题解的一种方法。设要求问题规模为 N

的解，当 N=1 时，解或为已知，或能非常方便地得到解。能采用递推法构造算法的问题有

重要的递推性质，即当得到问题规模为 i-1 的解后，由问题的递推性质，能从已求得的规模

为 1，2，…，i-1 的一系列解，构造出问题规模为 I 的解。这样，程序可从 i=0 或 i=1 出发，

重复地，由已知至 i-1 规模的解，通过递推，获得规模为 i 的解，直至得到规模为 N 的解。

【问题】阶乘计算

问题描述：编写程序，对给定的 n（n 100≦ ），计算并输出 k 的阶乘 k！（ k=1，2，

…，n）的全部有效数字。

由于要求的整数可能大大超出一般整数的位数，程序用一维数组存储长整数，存储长整数

数组的每个元素只存储长整数的一位数字。如有 m 位成整数 N 用数组 a[ ]存储：

N=a[m]×10m-1+a[m-1]×10m-2+ … +a[2]×101+a[1]×100

并用 a[0]存储长整数 N 的位数 m，即 a[0]=m。按上述约定，数组的每个元素存储 k 的阶乘

k！的一位数字，并从低位到高位依次存于数组的第二个元素、第三个元素 ……。例如，

5！=120，在数组中的存储形式为：

3 0 2 1 ……

首元素 3 表示长整数是一个 3 位数，接着是低位到高位依次是 0、2、1，表示成整数 120。

计算阶乘 k！可采用对已求得的阶乘(k-1)！连续累加 k-1 次后求得。例如，已知 4！=24，

计算 5！，可对原来的 24 累加 4 次 24 后得到 120。细节见以下程序。

# include <stdio.h>

# include <malloc.h>

# define MAXN 1000

void pnext(int a[ ],int k){

int *b,m=a[0],i,j,r,carry;

b=(int * ) malloc(sizeof(int)* (m+1));

for ( i=1;i<=m;i++) b[i]=a[i];

}

递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段，把较复杂的问题（规模为 n）

的求解推到比原问题简单一些的问题（规模小于 n）的求解。例如上例中，求解 fib(n)，把

它推到求解 fib(n-1)和 fib(n-2)。也就是说，为计算 fib(n)，必须先计算 fib(n-1)和 fib(n-2)，

而计算 fib(n-1)和 fib(n-2)，又必须先计算 fib(n-3)和 fib(n-4)。依次类推，直至计算 fib(1)和

fib(0)，分别能立即得到结果 1 和 0。在递推阶段，必须要有终止递归的情况。例如在函数

fib 中，当 n 为 1 和 0 的情况。

在回归阶段，当获得最简单情况的解后，逐级返回，依次得到稍复杂问题的解，例如得到

fib(1)和 fib(0)后，返回得到 fib(2)的结果，……，在得到了 fib(n-1)和 fib(n-2)的结果后，返

回得到 fib(n)的结果。

在编写递归函数时要注意，函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层，当递推进入

“简单问题”层时，原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层，

它们各有自己的参数和局部变量。

由于递归引起一系列的函数调用，并且可能会有一系列的重复计算，递归算法的执行效率

相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时，通常按递推算法编写程序。例

如上例计算斐波那契数列的第 n 项的函数 fib(n)应采用递推算法，即从斐波那契数列的前两

项出发，逐次由前两项计算出下一项，直至计算出要求的第 n 项。

【问题】组合问题

问题描述：找出从自然数 1、2、……、n 中任取 r 个数的所有组合。例如 n=5，r=3 的所有

组合为：（1）5、4、3 （2）5、4、2 （3）5、4、1

（4）5、3、2 （5）5、3、1 （6）5、2、1

（7）4、3、2 （8）4、3、1 （9）4、2、1

（10）3、2、1

分析所列的 10 个组合，可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为 void

comb(int m,int k)为找出从自然数 1、2、……、m 中任取 k 个数的所有组合。当组合的第一

个数字选定时，其后的数字是从余下的 m-1 个数中取 k-1 数的组合。这就将求 m 个数中取

k 个数的组合问题转化成求 m-1 个数中取 k-1 个数的组合问题。设函数引入工作数组 a[ ]存

放求出的组合的数字，约定函数将确定的 k 个数字组合的第一个数字放在 a[k]中，当一个

组合求出后，才将 a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是 m、m-1、……、k，函数将确

定组合的第一个数字放入数组后，有两种可能的选择，因还未去顶组合的其余元素，继续

递归去确定；或因已确定了组合的全部元素，输出这个组合。细节见以下程序中的函数

comb。

【程序】

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