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剑桥马尔可夫链蒙特卡洛算法（MCMC）讲义

MCMC

需积分: 50 65 下载量 91 浏览量更新于2023-03-16 评论 4 收藏 1.75MB PDF 举报

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剑桥马尔可夫链蒙特卡洛算法（MCMC）讲义，MCMC是一种简单有效的计算方法，在很多领域到广泛的应用，如统计物、贝叶斯(Bayes)问题、计算机问题等。

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Markov chain Monte Carlo

Machine Learning Summer School 2009

http://mlg.eng.cam.ac.uk/mlss09/

Iain Murray

http://www.cs.toronto.edu/~murray/

A statistical problem

What is the average height of the MLSS lecturers?

Method: measure their heights, add them up and divide by N =20.

What is the average height f of people p in Cambridge C?

p∈C

[f(p)] ≡

|C|

p∈C

f(p), “intractable”?

≈

s=1



(s)



, for random survey of S people {p

(s)

} ∈ C

Surveying works for large and notionally inﬁnite populations.

Simple Monte Carlo

Statistical sampling can be applied to any expectation:

In general:

f(x)P (x) dx ≈

s=1

f(x

(s)

), x

(s)

∼ P (x)

Example: making predictions

p(x|D) =

P (x|θ, D)P (θ|D) dθ

≈

s=1

P (x|θ

(s)

, D), θ

(s)

∼ P (θ|D)

More examples: E-step statistics in EM, Boltzmann machine learning

Properties of Monte Carlo

Estimator:

f(x)P (x) dx ≈

f ≡

s=1

f(x

(s)

), x

(s)

∼ P (x)

Estimator is unbiased:

P ({x

(s)

})

s=1

P (x)

[f(x)] = E

P (x)

[f(x)]

Variance shrinks ∝ 1/S:

var

P ({x

(s)

})

s=1

var

P (x)

[f(x)] = var

P (x)

[f(x)] /S

“Error bars” shrink like

√

A dumb approximation of π

P (x, y) =

(

1 0<x<1 and 0<y <1

0 otherwise

π = 4



+ y

) < 1



P (x, y) dx dy

octave:1> S=12; a=rand(S,2); 4*mean(sum(a.*a,2)<1)

ans = 3.3333

octave:2> S=1e7; a=rand(S,2); 4*mean(sum(a.*a,2)<1)

ans = 3.1418

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