深度学习基础：线性回归、逻辑回归与神经网络原理

本文主要介绍了线性回归、逻辑回归以及神经网络的基本原理和推导，涉及多元线性回归的最小二乘法与最大似然估计，逻辑回归与神经网络的关系，以及神经网络的反向传播过程。 线性回归是数据分析中最基础的模型之一，它试图通过一个线性方程来描述两个或多个变量之间的关系。在多元线性回归中，我们用一个线性组合的特征来预测目标变量，即`y = θ0 + θ1x1 + θ2x2 + ... + θnxn`。这里的θs是模型参数，x1, x2, ..., xn是特征。最小二乘法是最常用的求解线性回归参数的方法，它的目标是通过最小化均方误差（MSE）来找到最佳的θ值。最小化损失函数J，可以得到梯度下降法、高斯-牛顿法或Levenberg-Marquardt等优化算法的解。最大似然估计是从概率角度出发，寻找使观测数据出现概率最大的模型参数，对于高斯分布的数据，最小二乘法与最大似然估计在多元线性回归中给出了相同的结果。 逻辑回归是一种分类方法，它通过sigmoid函数将线性组合转换为(0,1)之间的概率值，常用于二分类问题。逻辑回归与神经网络的关系在于，逻辑函数作为单层神经网络的激活函数，可以实现非线性转换。Softmax回归是逻辑回归的扩展，适用于多分类问题，它将每个类别的概率归一化到[0,1]之间，确保概率总和为1。 神经网络是由多层非线性变换组成的模型，其中反向传播是训练神经网络的关键步骤。反向传播通过计算损失函数关于权重的梯度，利用链式法则更新网络参数，以减小预测误差。这个过程在解决复杂的非线性问题中至关重要。 评估线性回归模型的性能，通常使用相关系数（r）来衡量变量间的线性关联程度，以及显著性分析（t检验）来确认模型的统计意义。相关系数r大于0.8时，我们认为拟合效果较好。而显著性分析通过t分布计算，当显著性超过95%，我们说这种线性关系具有统计显著性。 线性回归、逻辑回归和神经网络在不同场景下各有应用，它们是机器学习和深度学习领域的基石，理解并掌握这些基本概念和推导，对于后续的学习和实践至关重要。