深度学习基础:线性回归、逻辑回归与神经网络原理

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本文主要介绍了线性回归、逻辑回归以及神经网络的基本原理和推导,涉及多元线性回归的最小二乘法与最大似然估计,逻辑回归与神经网络的关系,以及神经网络的反向传播过程。 线性回归是数据分析中最基础的模型之一,它试图通过一个线性方程来描述两个或多个变量之间的关系。在多元线性回归中,我们用一个线性组合的特征来预测目标变量,即`y = θ0 + θ1x1 + θ2x2 + ... + θnxn`。这里的θs是模型参数,x1, x2, ..., xn是特征。最小二乘法是最常用的求解线性回归参数的方法,它的目标是通过最小化均方误差(MSE)来找到最佳的θ值。最小化损失函数J,可以得到梯度下降法、高斯-牛顿法或Levenberg-Marquardt等优化算法的解。最大似然估计是从概率角度出发,寻找使观测数据出现概率最大的模型参数,对于高斯分布的数据,最小二乘法与最大似然估计在多元线性回归中给出了相同的结果。 逻辑回归是一种分类方法,它通过sigmoid函数将线性组合转换为(0,1)之间的概率值,常用于二分类问题。逻辑回归与神经网络的关系在于,逻辑函数作为单层神经网络的激活函数,可以实现非线性转换。Softmax回归是逻辑回归的扩展,适用于多分类问题,它将每个类别的概率归一化到[0,1]之间,确保概率总和为1。 神经网络是由多层非线性变换组成的模型,其中反向传播是训练神经网络的关键步骤。反向传播通过计算损失函数关于权重的梯度,利用链式法则更新网络参数,以减小预测误差。这个过程在解决复杂的非线性问题中至关重要。 评估线性回归模型的性能,通常使用相关系数(r)来衡量变量间的线性关联程度,以及显著性分析(t检验)来确认模型的统计意义。相关系数r大于0.8时,我们认为拟合效果较好。而显著性分析通过t分布计算,当显著性超过95%,我们说这种线性关系具有统计显著性。 线性回归、逻辑回归和神经网络在不同场景下各有应用,它们是机器学习和深度学习领域的基石,理解并掌握这些基本概念和推导,对于后续的学习和实践至关重要。