拉普拉斯变换在电路中的分析拉普拉斯变换在电路中的分析
对于电路,传统所应用的方法是根据电路定律和元件的电压、电流关系建立的描述电路的方程,建立的方程式
以时间为自变量的线性常微分方程,然后对常微分方程求解,即可得电路变量在时域的解答。
但是对于多个动态元件的复杂电路,直接求解微分方程是比较困难的。因此产生了拉普拉斯积分变换法求解电路。拉普拉斯积
分变换法,通过拉普拉斯积分变换,把已知的时域函数变换为频域函数,从而把时域的微分方程化为频域的代数方程。这样,
就很容易求出代数方程的频域解函数。然后再通过拉普拉斯反变换,返回时域,求出满足电路的原微分方程的解。
一、拉普拉斯变换
1、 拉普拉斯变换定义
一个定义在[[0,无穷]区间的函数f(t),他的拉普拉斯变换式F(s)定义为
式中 为复数,F(s)称为f(t)的象函数,f(t)成为F(s)的原函数。拉普拉斯变换简称为拉式变换。
拉式变换是把一个时间域的函数f(t)变换到s域内的复变函数F(s)。变量s称为复频域。
如果F(s)已知,要求出与它对应的原函数f(t),由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换。
拉普拉斯反变换,可以将s域内的复变函数F(s)转换为时间域的函数f(t)。
2、 拉普拉斯重要性质
1.1微分性质
如果函数f(t)的像函数其对应的拉普拉式变换式为F(s)。
那么对函数f(t)的求导,d(f(t))/dt 对应的拉普拉斯变换式为sF(s)。因为就将时域的微分转变成为了频域的代数表达
式。
1.2 卷积性质
时域上,对两个时间函数f1(t)和f2(t),进行卷积,那么卷积定义式为:
y(t)= f1(t)*f2(t)=
但是,如果f1(t)和f2(t)其对应的拉普拉斯变换为F1(s)和F2(s),那么y(t)对应的拉普拉斯变换:
Y(s) = F1(s)F2(s);
这样,时域的复杂卷积运算就转换为时域上的乘法运算。
二、拉普拉斯在电路中的分析
1、 传统动态电路的分析方法
对于动态电路,传统的分析方法是利用电感,电容的电压电流的微分或积分关系,然后再根据电路的KCL定律和KVL定律建立
描述电路的方程,建立的方程式以时间为自变量的线性常微分方程,然后再对微分方程求解,获得电路的输出响应。
例如,对如下电路: