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-309-
第十六章 差分方程模型
离散状态转移模型涉及的范围很广,可以用到各种不同的数学工具。下面我们对差
分方程作一简单的介绍,下一章我们将介绍马氏链模型。
§1 差分方程
1.1 差分方程简介
规定
t 只取非负整数。记
t
y 为变量
y
在 t 点的取值,则称
ttt
yyy −
=
Δ
+1
为
t
y 的一
阶向前差分,简称差分,称
ttttttt
yyyyyyy +−=Δ−Δ=ΔΔ=Δ
+++ 121
2
2)( 为
t
y 的二
阶差分。类似地,可以定义
t
y 的 n 阶差分
t
n
yΔ 。
由
t
yt、 及
t
y 的差分给出的方程称为
t
y 的差分方程,其中含
t
y 的最高阶差分的阶
数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如,二阶差分方程
0
2
=+Δ+Δ
ttt
yyy 也可改写成 0
12
=
+
−
++ ttt
yyy 。
满足一差分方程的序列
t
y 称为差分方程的解。类似于微分方程情况,若解中含有
的独立常数的个数等于差分方程的阶数时,称此解为该差分方程的通解。若解中不含任
意常数,则称此解为满足某些初值条件的特解。
称如下形式的差分方程
)(
110
tbyayaya
tntntn
=
+
+
+
−++
L (1)
为
n 阶常系数线性差分方程,其中
n
aaa ,,,
10
L 是常数, 0
0
≠
a 。其对应的齐次方程为
0
110
=
+
+
+
−++ tntntn
yayaya L (2)
容易证明,若序列
)1(
t
y 与
)2(
t
y 均为(2)的解,则
)2(
2
)1(
1 ttt
ycycy += 也是方程(2)的
解,其中
21
,cc
为任意常数。若
)2(
t
y 是方程(2)的解,
*
t
y 是方程(1)的解,则
*)2(
ttt
yyy +=
也是方程(1)的解。
方程(1)可用如下的代数方法求其通解:
(I)先求解对应的特征方程
0
1
10
=+++
−
n
nn
aaa L
λλ
(3)
(II)根据特征根的不同情况,求齐次方程(2)的通解。
(i)若特征方程(3)有
n 个互不相同的实根
n
λ
λ
,,
1
L ,则齐次方程(2)的通解
为
t
nn
t
cc
λλ
++L
11
(
n
cc ,,
1
L 为任意常数)
(ii)若
λ
是特征方程(3)的 k 重根,通解中对应于
λ
的项为
tk
k
tcc
λ
)(
1
1
−
++L ,
),,1( kic
i
L= 为任意常数。
( iii)若特征方程(3)有单重复根
i
β
α
λ
±
=
,通解中对应它们的项为
tctc
tt
ϕρϕρ
sincos
21
+ ,其中
22
βαρ
+= 为
λ
的模,
α
β
ϕ
arctg= 为
λ
的幅角。
(iv)若
i
β
α
λ
±
=
是特征方程(3)的 k 重复根,则通解对应于它们的项为
ttccttcc
tk
kk
tk
k
ϕρϕρ
sin)(cos)(
1
21
1
1
−
+
−
+++++ LL
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-310-
)2,,1( kic
i
L= 为任意常数。
(III)求非齐次方程(1)的一个特解
t
y 。若
t
y 为方程(2)的通解,则非齐次方
程(1)的通解为
tt
yy + 。
求非齐次方程(1)的特解一般要用到常数变易法,计算较繁。对特殊形式的
)(tb
也可使用待定系数法。例如,当
)()( tpbtb
k
t
=
, )(tp
k
为 t 的 k 次多项式时可以证明:
若
b 不是特征根,则非齐次方程(1)有形如 )(tqb
k
t
的特解, )(tq
k
也是 t 的 k 次多项
式;若
b
是
r
重特征根,则方程(1)有形如 )(
1
tqtb
k
rt −
的特解。进而可利用待定系数
法求出
)(tq
k
,从而得到方程(1)的一个特解
t
y 。
例 1 求解两阶差分方程
tyy
tt
=
+
+2
。
解 对应齐次方程的特征方程为
01
2
=+
λ
,其特征根为 i
±
=
2,1
λ
,对应齐次方程
的通解为
tctcy
t
2
sin
2
cos
21
π
π
+=
原方程有形如
bat + 的特解。代入原方程求得
2
1
=
a ,
2
1
−=
b ,故原方程的通解
为
2
1
2
1
2
sin
2
cos
21
−++ ttctc
π
π
例 2 在信道上传输仅用三个字母
cba ,, 且长度为
n
的词,规定有两个
a
连续出现
的词不能传输,试确定这个信道容许传输的词的个数。
解 令
)(nh 表示容许传输且长度为 n 的词的个数, L,2,1
=
n ,通过简单计算可
求得:
3)1( =h
,
8)2( =h
。当 3≥n 时,若词的第一个字母是 b 或 ,c 则词可按
)1( −nh
种方式完成;若词的第一个字母是 a ,则第二个字母是 b 或 c ,该词剩下的部分可按
)2( −nh
种方式完成。于是,得差分方程
)2(2)1(2)(
−
+
−= nhnhnh , ),4,3( L
=
n
其特征方程为
022
2
=−−
λλ
特征根
31
1
+=
λ
, 31
2
−=
λ
则通解为
nn
ccnh )31()31()(
21
−++= , ),4,3( L
=
n
利用条件
3)1( =h , 8)2( =h ,求得
nn
nh )31(
32
32
)31(
32
32
)( −
+−
++
+
=
, ),2,1( L
=
n
在应用差分方程研究问题时,我们常常需要讨论解的稳定性。对常系数非齐次线性
差分方程(1),若不论其对应齐次方程的通解中任意常数
n
cc ,,
1
L 如何取值,在 +∞→t
时总有 0→
t
y ,则称方程(1)的解是稳定的。根据通解的结构不难看出,非齐次方
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-311-
程(1)稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。
1.2 常系数线性差分方程的
Z
变换解法
常系数线性差分方程采用解析解法比较容易,而且对其解的意义也容易理解,但采
用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐,通常是采用
Z
变换,将差分方
程变换为代数方程去求解。
设有离散序列 )(kx , ),2,1,0( L=k ,则 )(kx 的
Z
变换定义为
∑
∞
=
−
==
0
)()]([)(
k
k
zkxkxZzX (4)
其中
z 是复变量。显然上式右端的级数收敛域是某个圆的外部。
)(zX 的
Z
反变换记作
)]([)(
1
zXZkx
−
=
1.2.1 几个常用离散函数的
Z
变换
(i)单位冲激函数
)(k
δ
的
Z
变换
∑
∞
=
=
−−
=×==
0
0
1]1[)()]([
k
k
kk
zzkkZ
δδ
即单位冲激函数的
Z
变换为 1。
(ii)单位阶跃函数
)(kU 的
Z
变换
∑∑
∞
=
∞
=
−−
×==
00
1)()]([
kk
kk
zzkUkUZ ,
即
)1|(|
1
)]([ >
−
= z
z
z
kUZ
(iii)单边指数函数
k
akf =)( 的
Z
变换( a 为不等于 1 的正常数)
∑
∞
=
−
>
−
==
0
)|(|][
k
kkk
az
az
z
zaaZ
1.2.2
Z
变换的性质
(i)线性性质
设
)()]([
11
zFkfZ = , )()]([
22
zFkfZ
=
,则
)()()]()([
2121
zbFzaFkbfkafZ
+
=
+
其中
ba, 为常数。收敛域为 )(
1
zF 和 )(
2
zF 的公共区域。
(ii)平移性
设
)()]([ zFkfZ
=
,则
)]0()([)]1([ fzFzkfZ
−
=+ ,
])()([)]([
1
0
∑
−
=
−
−=+
N
k
kN
zkfzFzNkfZ ,
])1()([)]1([
1
zfzFzkfZ −+=−
−
,
])()([)]([
1
∑
−
−=
−−
+=−
Nk
kN
zkfzFzNkfZ
例 3 求齐次差分方程
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-312-
0)(2)1(3)2(
=
++
+
+ kxkxkx , 0)0(
=
x , 1)1(
=
x
的解。
解 令
)()]([ zXkxZ = ,对差分方程取
Z
变换,得
0)(2)(3)(
2
=++− zXzzXzzXz ,
2123
)(
2
+
−
+
=
++
=
z
z
z
z
zz
z
zX
,
对上式取
z 反变换,便得差分方程的解为
kk
kx )2()1()( −−−= 。
1.3 齐次高阶差分方程的 Matlab 解法
我们以二阶齐次差分方程为例,考虑如下差分方程
0)()1()2(
=
++
+
+ kcxkbxkax ,
0
)0( xx
=
,
1
)1( xx
=
设
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=
)1(
)(
kx
kx
y
k
,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
1
0
0
)1(
)0(
x
x
x
x
y
,则上述二阶差分方程可以化成一阶差分
方程组
kk
Ayy =
+1
,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
1
0
0
x
x
y
其中
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
=
a
b
a
c
A
10
。
设二阶矩阵
A
的两个特征值为
21
,
λ
λ
,对应的特征向量为
21
,vv 。初值
0
y 表示为
21
,vv 的线性组合为
22110
vcvcy
+
=
则有
22211101
vcvcAyy
λ
λ
+== ,…,
222111
vcvcy
kk
k
λλ
+= 。
实际上,
0
yAy
k
k
= ,我们只要把
A
相似对角化,通过相似标准形计算出
k
A 就可
以了。设存在可逆矩阵
P
,把 A 相似对角化,即
Λ
=
−
A
P
P
1
,则
1−
Λ
=
P
P
A
kk
。
例 4 求齐次差分方程
0)(2)1(3)2(
=
++
+
+ kxkxkx , 0)0(
=
x , 1)1(
=
x
的解。
解 编写如下的 Matlab 程序
clc,clear
syms a k yk
a=[0 1;-2 -3]; a=sym(a);
[vec,val]=eig(a);
y0=[0;1];
yk=vec*val.^k*inv(vec)*y0
求得
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
−−−
=
++ 11
)2()1(
)2()1(
kk
kk
k
y ,即差分方程的解为
kk
kx )2()1()( −−−= 。
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