算法解析：多元Huffman编码与石子合并问题

"算法设计与分析：多元Huffman编码" 在给定的问题中，我们需要解决一个与石子合并相关的优化问题，这涉及到算法设计与分析。问题的核心是找到一种策略，以最小化或最大化将n堆石子合并成一堆时的总费用。这个费用是由每次合并的石子数量决定的，每次可以选择2到k堆石子进行合并。 首先，我们来看最大总费用的计算。这里采用贪心策略，每次都选择当前最大的两堆石子进行合并。由于我们使用的是优先队列（大顶堆），堆顶的元素总是最大的，因此每次取出两个最大的元素进行合并可以确保得到最大的总费用。这个过程会持续进行，直到所有的石子都合并成一堆。 ```cpp longlong Max(int k) { priority_queue<longlong> q; for (int i = 0; i < n; i++) q.push(data[i]); longlong maxNum = 0; while ((int)q.size() > 1) { // 两两合并，因为我们要求最大费用 longlong sum = q.top(); q.pop(); sum += q.top(); q.pop(); maxNum += sum; q.push(sum); } return maxNum; } ``` 接下来，我们考虑如何计算最小总费用。同样使用贪心策略，但这次我们希望减少合并的次数，即尽可能地让小堆先合并。为此，我们选择最小的k堆进行合并，而不是总是两堆。然而，当石子堆不足k堆时，我们需要在前面填充0，以确保最后一次合并不会因为之前的堆已经合并而产生额外的费用。这里的关键是确保在所有可能的k值中，选择使得总费用最小的那个k。 ```cpp longlong Min(int k) { priority_queue<longlong, vector<longlong>, greater<longlong>> q; // 使用小顶堆 for (int i = 0; i < n; i++) q.push(data[i]); longlong minNum = 0; int remaining = n; while (remaining > 1) { int mergeCount = min(k, remaining); // 按照剩余堆数的最小值进行合并 for (int i = 0; i < mergeCount - 1; i++) { longlong sum = q.top(); q.pop(); sum += q.top(); q.pop(); minNum += sum; q.push(sum); } remaining -= mergeCount; } return minNum; } ``` 最后，程序会从输入文件`input.txt`读取数据，包括石子堆的数量n和每次合并的堆数上限k，以及每堆石子的具体数量。计算完成后，结果将写入`output.txt`文件，以空格分隔最大费用和最小费用。 总结，这个问题涉及到了动态规划、贪心算法和优先队列等概念。通过合理地选择合并策略，我们可以有效地解决这个问题，无论是寻找最大费用还是最小费用。在这个过程中，算法的设计和分析起到了关键作用，确保了解决方案的正确性和效率。