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数值分析—矩阵特征值问题的数值计算
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更新于2023-03-16
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矩阵特征值问题的数值解法 在实际应用中,求矩阵的特征值和特征向量通常分为变换法和迭代法两种。变换法是 从原矩阵从发,用有限个正交相似变换将其化为便于求出特征值的形式,如对角矩阵、三角形矩阵等。这类方法有工作量小和应用范围广的优点,但由于舍入误差的影响,其精度往往不高。迭代法的基本思想是将特征值及特征向量作为一个无限序列的极限来求得。这类方法对舍入误差的影响有较强的稳定性,但通常工作量较大。
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第 8 章 矩阵特征值问题的数值解法
8.0 引言
对于 ,矩阵特征值问题就是求 及非零向量,使得
,
这样的称为矩阵的特征值,向量称对应特征值的特征向量。在工程技术中许多实
际问题最终都要归结为矩阵特征值和特征向量的计算问题。 例如结构的振动波形和频率可
分别由适当矩阵的特征向量和特征值来决定,结构的稳定性由特征值决定;又如机械和机
件的振动问题,无线电工及光学系统地电磁振荡问题和物理学中各种临界值都牵涉到特征
值的计算。
【例 1】 考虑图 8.1 的弹簧-重物系统,其中包括五个质量分别为 m
1
,m
2
,m
3
,m
4
,
m
5
的重物,它们的垂直位置分别为 x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
,由五个弹性系数分别为 k
1
,k
2
,k
3
,
k
4
,k
5
的弹簧相连。根据牛顿第二定律,系统运动满足下面的常微分方程
0
MxKx
′′
+=
,
其中
1
2
3
4
5
0000
0000
0000
0000
0000
m
m
Mm
m
m
=
称为质量矩阵,而
图 8.1 弹簧-重物系统
称为刚性矩阵。这个系统以自然频率
ω
做谐波运动,解的分量由
()
it
kk
xtye
ω
=
给出,其中 x
k
是振幅,k=1,2,3,
1
i
=−
,为确定频率
ω
及振动的波型(即振幅 x
k
),注
意到对解的每个分量,有
2
(),
it
kk
xtye
ω
ω
′′
=−
将这个关系带入微分方程,得代数方程
2
,
KyMy
ω=
或
,
Ayy
λ
=
其中
12
,AMK
λω
−
==
。这样,弹簧-重物系统的自然频率和振幅可由特征值问题的解得
到。
在线性代数中,我们知道,矩阵
A
的特征值的求解可通过矩阵
A
的特征多项式
nn
AR
×
∈
C
λ
∈
x
Axx
λ
=
λ
A
x
λ
122
2233
3344
4455
55
000
00
00
00
000
kkk
kkkk
Kkkkk
kkkk
kk
+−
−+−
=−+−
−+−
−
11121
212212
12
()det()
n
nnnn
aaa
aaa
fIA
aaa
λ
λ
λλ
λ
−−−
−−−
=−=
−−−
L
L
MMM
L
的根来得到。上式中
I
是n阶单位阵,
det()
IA
λ
−
表示
IA
λ
−
的行列式,它是
λ
的n次
代数多项式。总所周知,5 次以上的代数多项式是没有求根公式的,它们的求解大部分是
相当困难的。同时高次多项式的重根的计算往往精度较低等。因此,从数值计算的观点来
看,用特征多项式来求矩阵特征值的方法并不可取,必须建立有效的数值方法。
在实际应用中,求矩阵的特征值和特征向量通常分为变换法和迭代法两种。变换法是
从原矩阵从发,用有限个正交相似变换将其化为便于求出特征值的形式,如对角矩阵、三
角形矩阵等。这类方法有工作量小和应用范围广的优点,但由于舍入误差的影响,其精度
往往不高。迭代法的基本思想是将特征值及特征向量作为一个无限序列的极限来求得。这
类方法对舍入误差的影响有较强的稳定性,但通常工作量较大。
实际问题中提出的特征值问题其要求是不相同的,有些问题只要求计算绝对值最大或
最小的特征值,但更多的则要求计算全部特征值和特征向量。必须针对问题特点进行具体
分析,选择适当的方法。下面介绍几种目前在计算机上比较常用的矩阵特征值问题的数值
方法。
8.1 矩阵特征值问题的有关理论
本节叙述一些与特征值有关的概念与结论。
命题 8.1 设 是的特征值,则有
; ,
式中 为矩阵的迹。
在计算矩阵的特征值时,如果能够给出特征值大小的一个范围,在很多情况下是非常
有用 的。在前面的范数讲到,可以用范数粗略估计特征值外,还可以利用著名的
Gerschgorin 圆盘定理来估计特征值。
定理 8.1 (Gerschgorin(格什戈林)圆盘定理) 设 ,则设的每一个特征
值
,
其中
为第个圆盘。
定理 8.2 如果 A 的 n 个圆盘中的 m 个圆盘形成一个连通集 S,且 S 与其他 n-m 个圆
盘是分离的。则在连通集 S 中恰好有 A 的 m 个特征值。特别地,当 m=1 时,即每个孤立
圆盘中恰好有一个特征值。
【例 1】 估计矩阵 A 的特征值范围,其中
(),(1,2,,)
nn
iji
AaRin
λ
×
=∈=
L
A
1
Det()
n
i
i
A
λ
=
=
∏
11
()
nn
iii
ii
trAa
λ
==
==
∑∑
()
trA
A
()
nn
ij
AaC
×
=∈
A
1
n
i
i
D
λ
=
∈
U
1,
{},(1,2,,)
n
iiiij
jji
Dzzaain
=≠
=−≤=
∑
L
i
410
101.
114
A
=−
−
解 矩阵 A 的 3 个圆盘为
123
:41,:2,:42.
DDDλλλ
−≤≤+≤
由定理 8.1,可知 A 的 3 个特征值位于 3 个圆盘的并集中。由于 D
1
是孤立圆盘,所以 D
1
内恰好包含 A 的一个特征值 λ
1
(为实特征值),即
1
35.
λ
≤≤
A 的其它两个特征值 λ
2
和 λ
3
包含在 D
2
, D
3
的并集中。实际上 A 的三个特征值分别约为
4.2030,-3.7601 和-0.4429。
定义 8.1 设 A 为阶实对称矩阵,对任意非零向量,称
为对应于向量 x 的 Rayleigh(瑞利)商,其中
1
(,)
n
ii
i
xyxy
=
=
∑
为向量 x 和 y 的内积。
定理 8.3 设 A 为 n 阶实对称矩阵,其特征值都为实数,排列为
对应的特征向量 组成正交向量组,则有
1) 对任何非零向量 ,有
1
()
n
Rx
λλ
≤≤
,
2) ,
3)
证明 设 ,则有表达式:
,
由此可见,1)成立。在 Rayleigh 商中分别取
1
xx
=
和
n
xx
=
,可得到 Rayleigh 商的最大
值和最小值,即 2)和 3)成立。
8.2 乘幂法和反幂法
8.2.1 乘幂法和加速方法
乘幂法是通过求矩阵的特征向量来求出特征值的一种迭代法。它主要用来求矩阵按模最
大的特征值及其对应的特征向量。其优点是算法简单,容易计算机实现,缺点是收敛速度
慢,其有效性依赖于矩阵特征值的分布情况。
设矩阵 的 个特征值满足
, (8.2.1)
对应的 个特征向量
12
,,,
n
xxx
K
线性无关。称模最大的特征值为主特征值,对应的特
征向量为主特征向量。
乘幂法用于求主特征值和特征向量。它的基本思想是任取非零的初始向量,由矩阵
构造一个向量序列:
.
由假设 可表示为:
n
x
(,)
()
(,)
Axx
Rx
xx
=
12
,
n
λλλ
≥≥≥
L
12
,,,
n
xxx
L
n
xR
∈
11
0
max()()
n
xR
RxRx
λ
≠∈
==
0
min()()
n
nn
xR
RxRx
λ
≠∈
==
。
0
x
≠
1
n
ii
i
xx
α
=
=Σ
2
1
(,)0,
n
i
i
xx α
=
=Σ>
222
1
111
(,)
nnn
niiii
iii
Axx
λααλλα
===
Σ≤Σ=≤Σ
。
nn
AR
×
∈
n
12
n
λλλ
>≥≥
L
n
1
λ
1
x
0
v
A
10
(1,2,)
k
kk
vAvAvn
−
===
L
0
v
. (8.2.2)
若记 为向量的第个分量,则有
( )
0111111
12
1
k
nn
kkkk
i
kiiiiik
ii
vAvaxaxaxax
λ
λλλε
λ
==
===+=+
∑∑
其中 。若 ,则由 知
.
可见,当 充分大时, 近似于主特征向量(相差一个常数倍), 与 的对应非零分
量的比值近似于主特征值。
在实际计算中,需要对计算结果进行规范化。因为当 时, 趋于零;当
时 ,的非零分量趋于无穷,从而计算时会出现下溢或上溢。为此,对向量
,记 ,其中 ,这样,我们有如下乘幂法的实用
的计算公式:
任取 ,对于 分别计算
(8.2.3)
求出对应矩阵的主特征向量和特征值的近似值,有下面的定理。
定理 8.4 设 的特征值 满足(8.2.1)并且对应的个线性无关的特
征向量 。给定初始向量
0
1
n
ii
i
vax
=
=
∑
, 则由(8.2.3)生成的向量序列有
证明 若记
max()
kk
mv
=
,由表示(8.2.3)有
2
120
111
.
k
kk
k
kkkkk
AuAuAu
u
mmmmmm
−−
−−
====L
L
由于
k
u
的最大分量为 1,即
max()1
k
u
=
,故
(
)
110
max.
k
kk
mmmAu
−
=L
又注意到假定
00
uv
=
,从而
.
由(8.2.2)有
同理,可得到
01122
nn
vxxx
ααα=++
L
()
ki
v
k
v
i
11111
11
()()
,
()()
kiki
kiki
vx
vx
λαε
αε
++
+
=
+
1
2
k
n
i
kii
i
x
λ
λ
εα
=
=
∑
(
)
11
0, 0
i
xα
≠≠
lim0
k
k
ε
→∞
=
(
)
()
1
111
1
lim, lim
k
ki
k
kk
k
i
v
v
x
v
αλ
λ
+
→∞→∞
==
k
k
v
1
k
v
+
k
v
1
<1
λ
k
v
1
>1
λ
k
v
12
(,,,)
Tn
n
zzzR
Ζ=∈
L
max()
i
z
Ζ=
i
z
∞
=Ζ
00
0
vu
=≠
1,2,
k
=
L
1
,
/max().
kk
kkk
vAu
uvv
−
=
=
nn
AR
×
∈
(1,2,,)
i
in
λ=
L
n
(1,2,,)
i
xin
=
L
0
i
α
≠
,
1
1
1
lim, limmax()
max()
kk
kk
x
uv
x
λ
→∞→∞
==
.
00
1
00
,
max()max()
kk
kk
kk
AvAv
vu
AvAv
−
==
0111111
2
1
0111
0111
[()](),
()
,
max()max[()]
n
kkkk
i
iik
i
kk
k
k
kk
k
Avxxx
Avx
u
Avx
λ
λααλαε
λ
λαε
λαε
=
=+Σ=+
+
==
+
11
1
111
()
max()max()
k
k
x x
k
xx
αε
αε
+
=→→∞
+
.
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