ACM图论算法：最小生成树实现——Prim & Kruskal

"这篇资源是关于ACM/ICPC竞赛中的图论算法，特别是最小生成树的实现。文章提到了两种不同的算法：Prim算法和Kruskal算法，并提供了C语言的程序实现。" 在图论中，最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）是一个非常重要的概念，它是在无向图中找到连接所有顶点的边的集合，使得这些边的总权重最小。在ACM/ICPC这样的算法竞赛中，理解和熟练应用这些算法是关键。 1. **Prim算法**： Prim算法是一种贪心算法，它从一个初始顶点开始，逐步添加边来构建最小生成树，每次添加一条与当前树连接且权重最小的边。在提供的代码中，`prim()`函数实现了Prim算法。首先，用一个二维数组`ad`存储图的邻接矩阵，初始化所有边的权重为正无穷大（1e9），然后读取边的信息并更新权重。在`prim()`函数内部，`visit[]`数组用于标记已加入树的顶点，`mark[]`用于存储从初始顶点到其他顶点的最小边权重。函数通过迭代逐步构建最小生成树，直到所有顶点都被包含。 2. **Kruskal算法**： Kruskal算法也是贪心策略，它按照边的权重递增顺序选择边，但要确保添加的边不会形成环。在代码中，`Kruskal()`函数实现了这一过程。首先，`parent[]`数组用于表示每个顶点的父节点，用于判断新添加的边是否会形成环。在添加每条边时，通过查找每个顶点的祖先（通过`parent[]`数组）来判断环的存在。如果新边不形成环，则将其加入结果中。Kruskal算法通常配合Disjoint Set数据结构来提高效率。 3. **最优比例生成树**和**最小度限制生成树**： 虽然在标题中提到了这两个概念，但在提供的代码中并未给出具体的实现。最优比例生成树是寻找一个树，使得树中任意两个顶点间的路径长度之比的最小值最大。最小度限制生成树则是指在满足某些度数限制的情况下找到最小权重的树。 4. **最短路**： 标签中提到了最短路，这通常是Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法等解决的问题，它们用于找出图中两个顶点之间的最短路径。这部分内容在描述中被提及，但在提供的代码中未进行实现。 对于ACM/ICPC参赛者来说，理解并能够熟练运用这些图论算法是至关重要的，因为它们经常出现在各种复杂问题的解决方案中。通过练习和理解这些算法的实现，可以帮助提高解决实际问题的能力。