5.2 排列与代数余子式
1 2 × 2 : ad − bc 有 2! 个带 ± 号的项。n × n : det A 使n! 个带± 号的项相加。
2 对于 n = 3，det A 相加 3! = 6 项。 两项为 +a
12
a
23
a
31
与 −a
13
a
22
a
31
。行 1，2，3 与列
1，2，3 在每项中出现一次。
3 负号的出现是由于顺序 3，2，1 需要一次交换来恢复到 1，2，3。
4 其 6 项包含了 +a
11
a
22
a
33
− a
11
a
23
a
32
= a
11
(a
22
a
33
− a
23
a
32
) = a
11
(代数余子式 C
11
)。
5 总有 det A = a
11
C
11
+ a
12
C
12
+ · · · + a
1n
C
1n
。代数余子式是大小为 n − 1 的行列式。
计算机从主元找出行列式。本节阐述求行列式的另外两种方法。这里有利用 n! 次排列的“重要公
式”。有利用大小为 n − 1 的行列式的“代数余子式公式”。最佳的例子是我最喜欢的 4 × 4 矩阵：
2 −1 0 0
−1 2 −1 0
0 −1 2 −1
0 0 −1 2
有 det A = 5.
我们用所有三种方法可以找出这个行列式：主元，重要公式，代数余子式。
1. 主元的乘积是
2
·
3
2
·
4
3
·
5
4
。约分得
5
。
2. 等式 (8) 的“重要公式”有 4! = 24 项。只有 5 个非零项:
det A = 16 − 4 − 4 − 4 + 1 = 5.
16 来自 A 的对角线 2 · 2 · 2 · 2。-4 与 +1 来自哪里？当你找出那 5 项时，你就理解公式 (8) 了。
3. 第一行数乘以其来自于其它行的代数余子式 4,3,2,1。那得出 2· 4 − 1 · 3 = 5。那些代数余子式是 3× 3
的行列式。代数余子式使用首行元素不在的行和列。行列式每一项只使用各行和各列一次！
主元公式
当消元得到 A = LU 时，主元在上三角 U 的对角线上。如果不涉及行交换，则乘以那些主元找出行列
式：
det A = (det L)(det U ) = (1)(d
1
d
2
· · · d
n
) (1)
这个关于 det A 的公式出现在 5.1 节，随着深入可能会发生行交换。因此加入一个置换 P A = LU 。P
的行列式为 -1 或 +1。
(det P )(det A) = (det L)(det U ) 得 det A = ±(d
1
d
2
· · · d
n
) (2)
Eric_Saltfish
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